2024高三·全国·专题练习
1 . 如图，在平面直角坐标系
中，M，N分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．对任意
，求证：
．
中，M，N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．对任意，求证：．
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2023高三·全国·专题练习
2 . 若实数
，
，
两两不等，且
，
，证明
，并由本结论说出
的一条几何性质.
，，两两不等，且，，证明，并由本结论说出的一条几何性质.
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3 . 如图，已知
内接于抛物线
，且边
所在直线分别与抛物线
相切，F为抛物线M的焦点．求证：
(1)边
所在直线与抛物线M相切；
(2)A，C，B，F四点共圆．
内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，F为抛物线M的焦点．求证：(1)边
所在直线与抛物线M相切；(2)A，C，B，F四点共圆．
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4 . 已知椭圆
，点P、Q在椭圆C上，满足在椭圆C上存在一点R到直线
、
的距离均为
，证明：
．
，点P、Q在椭圆C上，满足在椭圆C上存在一点R到直线、的距离均为，证明：．
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5 . 已知
是抛物线
上三个不同的动点，
有两边所在的直线与抛物线
相切.证明：的重心在定直线上.
是抛物线上三个不同的动点，有两边所在的直线与抛物线相切.证明：的重心在定直线上.
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6 . 如图所示，设k>0且k≠1，直线l：y=kx+1与l1：y=k1x+1关于直线y=x+1对称，直线l与l1分别交椭圆
于点A、M和A、N.
（1）求
的值；
（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点.
于点A、M和A、N.（1）求
的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点.
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2020-05-11更新
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616次组卷
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2卷引用：2019年全国高中数学联赛广西壮族自治区预赛
7 . 在直角坐标系xOy的横轴上取两个定点
、
，在纵轴上取两个动点
、
，满足
，
（a、b为常数），联结
、
交于点M．
（1）求点M所在的曲线P；
（2）过点
作斜率为
的直线交曲线P于点A、C，若
，且点B也在曲线P上，求证：
为定值
．
、，在纵轴上取两个动点、，满足，（a、b为常数），联结、交于点M．（1）求点M所在的曲线P；
（2）过点
作斜率为的直线交曲线P于点A、C，若，且点B也在曲线P上，求证：为定值．
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8 . 已知过椭圆C上一点P与对称轴平行的直线交椭圆C的两准线于点
它们分别与同侧焦点
的连线交于点Q．求证: 
四点共圆．
它们分别与同侧焦点的连线交于点Q．求证: 四点共圆．
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9 . 已知抛物线
及定点
、
．
是抛物线上的点，设直线
、
与抛物线的另一交点分别为
、
．求证：当点在抛物线上变动时（只要、存在且
），直线
恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
及定点、．是抛物线上的点，设直线、与抛物线的另一交点分别为、．求证：当点在抛物线上变动时（只要、存在且），直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
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10 . 在椭圆
外一直线
上取
个不同的点
，过
向椭圆作切线
、
，切点分别为
、
.记直线
为
.
（1）若存在正整数
、
（
、
，
），使得点
在直线
上，证明：点
在直线上；
（2）试求直线
将椭圆分成的区域的个数.
外一直线上取个不同的点，过向椭圆作切线、，切点分别为、.记直线为.（1）若存在正整数
、（、，），使得点在直线上，证明：点在直线上；（2）试求直线
将椭圆分成的区域的个数.
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