1 . 在锐角中,为延长线上一点,过分别作,平行线,,若,,且的外接圆与交于点,证明:
(1);
(2).
(1);
(2).
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2023-12-14更新
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139次组卷
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2卷引用:2023年第39届全国中学生冬令营(CMO)数学试题
2 . 如图,是以为直径的固定的半圆弧,是经过点及上另一个定点的定圆,且的圆心位于内.设是的弧(不含端点)上的动点,,是上的两个动点,满足:在线段上,,位于直线的异侧,且.记的外心为.证明:
(1)点在的外接圆上;
(2)为定点.
(1)点在的外接圆上;
(2)为定点.
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3 . 已知非等腰锐角,、是它的两条高,又线段与平行于的中位线相交于点.证明:经过的外心垂心的直线与直线垂直.
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4 . 如图,设是的内心,过作的垂线,分别交边,于,.求证:分别于及相切于及的圆必与的外接圆相切.
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5 . 如图,从半圆上的一点向直径引垂线,设垂足为,作切,,分别于,,.求证:.
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2023高三·全国·专题练习
6 . 如图2,在锐角△ABC中,过点A作垂直于AB的直线l,过点B作垂直于BC的直线m,过点C作垂直于AC的直线n,其中,,,,作△ABD,△BCE,△ACF的外接圆,证明:三圆共点于P,且.
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7 . 如图1,设是一个锐角三角形,且,为其外接圆,分别为其外心和垂心,为圆直径,为线段上一动点且满足.
(1)证明:为中点;
(2)过作的平行线交于点,若为的中点,证明: ;
(3)直线与圆的另一交点为(如图2),以为直径的圆与圆的另一交点为.证明:若三线共点,则;反之也成立.
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8 . 某地有四家工厂,分别位于矩形ABCD的四个顶点.已知,.为了处理这四家工厂的污水,当地政府打算在该矩形区域上(含边界)建造一个污水处理厂O,并铺设一些管道连通各家工厂和污水处理厂.记需要铺设管道的总长度为L(单位:km).现有以下两种建设方案.
(1)第一种方案计划将污水处理厂建在矩形区域内部,并在各家工厂与污水处理厂之间用管道直接连通.求该方案下L的最小值;
(2)第二种方案计划将污水处理厂O建在对角线 AC、BD 的交点处,并在矩形区域内部选择两个关于 O 对称的点P、Q作为管道的分叉点,试确定该方案下L取得最小值时,分叉点P、Q的位置.
(1)第一种方案计划将污水处理厂建在矩形区域内部,并在各家工厂与污水处理厂之间用管道直接连通.求该方案下L的最小值;
(2)第二种方案计划将污水处理厂O建在对角线 AC、BD 的交点处,并在矩形区域内部选择两个关于 O 对称的点P、Q作为管道的分叉点,试确定该方案下L取得最小值时,分叉点P、Q的位置.
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名校
9 . 如图,给定外心为的锐角,令分别为到对边的垂足.为的外接圆在和处的切线的交点.一条经过且垂直于的直线交直线于为在上的投影.证明:.
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真题
10 . 如图,为圆的直径,P、C为圆上两点,连,过C作的垂线与和的延长线依次相交于A,B,D,求证:.
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