1 . 在锐角中，为延长线上一点，过分别作，平行线，，若，，且的外接圆与交于点，证明：
(1)；
(2)．

2 . 如图，是以为直径的固定的半圆弧，是经过点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内.设是的弧（不含端点）上的动点，，是上的两个动点，满足：在线段上，，位于直线的异侧，且.记的外心为.证明：
   
(1)点在的外接圆上；
(2)为定点.

3 . 已知非等腰锐角，、是它的两条高，又线段与平行于的中位线相交于点．证明：经过的外心垂心的直线与直线垂直．

4 . 如图，设是的内心，过作的垂线，分别交边，于，．求证：分别于及相切于及的圆必与的外接圆相切．
   

5 . 如图，从半圆上的一点向直径引垂线，设垂足为，作切，，分别于，，．求证：．
   

6 . 如图2，在锐角△ABC中，过点A作垂直于AB的直线l，过点B作垂直于BC的直线m，过点C作垂直于AC的直线n，其中，，，，作△ABD，△BCE，△ACF的外接圆，证明：三圆共点于P，且.
   

7 . 如图，为圆的一条弦（非直径），于点，为圆上一点，连结与线段交于点，连结，与的延长线交于点，则（       ）

A．，，，四点共圆	B．，，，四点共圆
C．，，，四点共圆	D．，，，四点共圆

8 . 如图1，设是一个锐角三角形，且，为其外接圆，分别为其外心和垂心，为圆直径，为线段上一动点且满足.

(1)证明：为中点；
(2)过作的平行线交于点，若为的中点，证明： ；
(3)直线与圆的另一交点为（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为.证明：若三线共点，则；反之也成立.

9 . 某地有四家工厂，分别位于矩形ABCD的四个顶点．已知，．为了处理这四家工厂的污水，当地政府打算在该矩形区域上（含边界）建造一个污水处理厂O，并铺设一些管道连通各家工厂和污水处理厂．记需要铺设管道的总长度为L（单位：km）．现有以下两种建设方案．
(1)第一种方案计划将污水处理厂建在矩形区域内部，并在各家工厂与污水处理厂之间用管道直接连通．求该方案下L的最小值；
(2)第二种方案计划将污水处理厂O建在对角线 AC、BD 的交点处，并在矩形区域内部选择两个关于 O 对称的点P、Q作为管道的分叉点，试确定该方案下L取得最小值时，分叉点P、Q的位置．

10 . 在菱形中，，延长至点P，与相交于点E，与相交于点Q，的外接圆交于另一点F，则（       ）

A．B，F，E，C四点共圆	B．D，F，C，P四点共圆
C．B，C，D，Q四点共圆	D．D，F，E，Q四点共圆