1 . 设
为n个正整数，并且满足
，令
，并记
.求证：对于任意
，必存在正整数u、v，使得
，等于A或
.
为n个正整数，并且满足，令，并记.求证：对于任意，必存在正整数u、v，使得，等于A或.
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2 . 求方程
的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.
的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.
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3 . 将1~2020的数字按顺时针方向围成一个圆圈，然后从1开始，按顺时针依次隔一个数拿走，即拿走1，3，5，…，这个过程一直进行下去，直到剩下最后一个数字，则最后剩下的数字是___________ .
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4 . 设n是正整数，
是n的全部正因数.定义
，已知
是2的幂次，求证：n没有1之外的平方因数.
是n的全部正因数.定义，已知是2的幂次，求证：n没有1之外的平方因数.
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5 . 质数p和正整数m满足
，则
___________ .
，则
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6 . 设
，欧拉函数
表示在正整数1，2，3，…，
中与互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以
，则
__________ ．
，欧拉函数表示在正整数1，2，3，…，中与互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以，则
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7 . 设
，
，若
，则
的值为___________ ．
，，若，则的值为
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8 . 设
为一个质数，且
也是一个质数，证明：
的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
为一个质数，且也是一个质数，证明：的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
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9 . 给定正整数
.记
，
，2，3，….证明：对任意素数
，存在无穷多个非负整数对
，满足
，
，…，
这100个数都能被
整除，并且都不能被
整除.
.记，，2，3，….证明：对任意素数，存在无穷多个非负整数对，满足，，…，这100个数都能被整除，并且都不能被整除.
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10 . 设m是一个给定的正整数，d是它的一个正因子．已知
和
是两个由正整数构成的等差数列，满足：存在正整数i、j、k、l，使得
．证明：存在正整数t、s使得
．
和是两个由正整数构成的等差数列，满足：存在正整数i、j、k、l，使得．证明：存在正整数t、s使得．
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