1 . 将平面上每个点都以红、蓝两色之一着色．证明：存在有两个内角分别为
，且它们的夹边长为1996的三角形，三个顶点同色．
，且它们的夹边长为1996的三角形，三个顶点同色．
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2 . 如图，在锐角
中，垂心
关于边
、
、
的对称点分别为
、
、
，关于边、、的中点
、
、
的对称点分别为
、
、
.证明：
（1）、、、、、六点共圆；
（2）
；
（3）
.
中，垂心关于边、、的对称点分别为、、，关于边、、的中点、、的对称点分别为、、.证明：（1）
、、、、、六点共圆；（2）
；（3）
.
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3 . 若
为自然数，证明：
.
为自然数，证明：.
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4 . 记
表示不超过实数
的最大整数.设
.则
除以50的余数为__________ .
表示不超过实数的最大整数.设.则除以50的余数为
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5 . 由
，
给出的数列是著名的斐波那契数列：
，其中每一个数均称为斐波那契数.证明：存在末尾是三个0的斐波那契数.
，给出的数列是著名的斐波那契数列：，其中每一个数均称为斐波那契数.证明：存在末尾是三个0的斐波那契数.
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6 . 已知
、
均为等腰三角形，
，
.如图，将绕点逆时针方向旋转一个角度
，
的延长线与直线
交于点
，如图.
则绕点逆时针方向从
旋转到
的过程中，点运动的路线长为_________ .
、均为等腰三角形，，.如图，将绕点逆时针方向旋转一个角度，的延长线与直线交于点，如图.则
绕点逆时针方向从旋转到的过程中，点运动的路线长为
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7 . 如图，
、
、
为的内角平分线，且
.证明：
（1）
；
（2）
、、为的内角平分线，且.证明：（1）
；（2）
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8 . 在立方体的每个面上各写一个正整数，在每个顶点处写该顶点所在的三个面上的正整数的乘积．若八个顶点写的数之和为2014，则六个面上写的数之和为________________ ．
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9 . 已知、
为集合
中的数字，
为两位整数，
为两位整数
，、
．当
（
为整数）时，有序数对
的个数为____________ ．
、为集合中的数字，为两位整数，为两位整数，、．当（为整数）时，有序数对的个数为
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10 . 已知是边长为
的正的内切圆上的一个动点．则
的最小值为__________________ ．
是边长为的正的内切圆上的一个动点．则的最小值为
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