名校
解题方法
1 . 在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长. 已知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：
参考数据：
，
，其中
(1)根据统计表中的数据画出散点图（如图），请判断
与
哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程：
(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同.若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
参考公式：对于一组数据
，v1），
），…，
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
；
| 年份（年） | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
| 年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 保有量y/千辆 | 1.95 | 2.92 | 4.38 | 6.58 | 9.87 | 15.00 | 22.50 | 33.70 |
，，其中(1)根据统计表中的数据画出散点图（如图），请判断
与哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程：(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同.若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
参考公式：对于一组数据
，v1），），…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；
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2022-10-12更新
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1238次组卷
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12卷引用：福建省三明市2021-2022学年高二下学期普通高中期末质量检测数学试题
福建省三明市2021-2022学年高二下学期普通高中期末质量检测数学试题（已下线）第04讲 拓展一：非线性经验回归方程 (精讲）（已下线）第09讲 高考中的概率与统计 (精讲） -1广东省佛山市顺德区第一中学2023届高三上学期9月月考数学试题（已下线）专题52 统计案例-1（已下线）第34节 统计（已下线）考向43 统计与统计案例（九大经典题型）-3（已下线）第四章 概率与统计（A卷·知识通关练）（3）（已下线）拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型） (综合）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）9.1.2 线性回归方程-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)（已下线）第八章 成对数据的统计分析（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第04讲 拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
2 . 2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.
为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型
和
.
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：
（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？
（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？
附：对于一组数据（
，
，……，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
参考数据：其中
，
.
为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型
和.（1）根据散点图判断，
与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：
| 时间 | 1月25日 | 1月26日 | 1月27日 | 1月28日 | 1月29日 |
| 累计确诊人数的真实数据 | 1975 | 2744 | 4515 | 5974 | 7111 |
（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？
附：对于一组数据（
，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：其中
，. |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 5.5 | 390 | 19 | 385 | 7640 | 31525 | 154700 | 100 | 150 | 225 | 338 | 507 |
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2020-04-03更新
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526次组卷
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4卷引用：2020届陕西省榆林市高三下学期3月线上高考模拟测试数学(文)试题
3 . 某银行推出一款短期理财产品，约定如下：
（1）购买金额固定；
（2）购买天数可自由选择，但最短3天，最长不超过10天；
（3）购买天数
与利息
的关系，可选择下述三种方案中的一种：
方案一：
；方案二：
；方案三：
.
请你根据以上材料，研究下面两个问题：
（1）结合所学的数学知识和方法，用其它方式刻画上述三种方案的函数特征；
（2）依据你的分析，给出一个最佳理财方案.
（1）购买金额固定；
（2）购买天数可自由选择，但最短3天，最长不超过10天；
（3）购买天数
与利息的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：
；方案二：；方案三：.请你根据以上材料，研究下面两个问题：
（1）结合所学的数学知识和方法，用其它方式刻画上述三种方案的函数特征；
（2）依据你的分析，给出一个最佳理财方案.
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4 . 科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量
（单位：克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：
已知当
时，
，其中
为常数．当
时，和的关系为以下三种函数模型中的一个：①
；②
且
；③
且；其中
均为常数．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述
之间的关系，并求出其解析式；
(2)求该新材料的含量为多少克时，产品的性能达到最大．
（单位：克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：| （单位：克） | 0 | 2 | 6 | 10 | … |
| －4 | 8 | 8 |  | … |
时，，其中为常数．当时，和的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②且；③且；其中均为常数．(1)选择一个恰当的函数模型来描述
之间的关系，并求出其解析式；(2)求该新材料的含量
为多少克时，产品的性能达到最大．
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2023-06-26更新
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868次组卷
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7卷引用：四川省成都市成都市石室中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题
四川省成都市成都市石室中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（已下线）第二章 综合测试A（基础卷）（已下线）考点14 常见函数应用模型 2024届高考数学考点总动员（已下线）第07讲 4.5.3函数模型的应用（2）-【帮课堂】（已下线）第10讲 第四章 指数函数与对数函数 章末重点题型大总结-【帮课堂】（已下线）第07讲 4.5.3函数模型的应用（1）-【帮课堂】（已下线）第四章：指数函数与对数函数章末综合检测卷-【题型分类归纳】（人教A版2019必修第一册）
5 . 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生源利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的
.现有三个奖励模型：
，
，
，其中哪个模型符合该校的要求？
.现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型符合该校的要求？
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2023-08-29更新
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86次组卷
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8卷引用：2017-2018学年人教版A版高中数学必修一 第3章 3.2.1 几类不同增长的函数模型
2017-2018学年人教版A版高中数学必修一 第3章 3.2.1 几类不同增长的函数模型人教A版(2019) 必修第一册 逆袭之路 第四章 4.5 函数的应用（二） 4.5.3 函数模型的应用（已下线）第四章 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 §5 信息技术支持的函数研究-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（已下线）第三章+函数的应用（基础过关）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教A版必修1）（已下线）4.4.3+不同函数增长的差异-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）（已下线）【导学案】4.4 对数函数（第3课时 不同函数增长的差异）-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）人教A版(2019) 必修第一册 数学奇书 学业评价(三十三) 不同函数增长的差异（已下线）4.4.3 不同函数增长的差异（导学案）-【上好课】
名校
6 . 医学上常用基本传染数
来衡量传染病的传染性强弱，其中
，
表示t天内的累计病例数．据统计某地发现首例A型传染性病例，在41天内累计病例数达到425例，取
，
，根据上面的信息可以计算出A型传染病的基本传染数R．已知A型传染病变异株的基本传染数
（
表示不超过R的最大整数），平均感染周期为7天（初始感染者传染
个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染，以此类推），则感染人数由1个初始感染者增加到9000人大约需要的天数为________ 天．（参考数据：
，
，
）
来衡量传染病的传染性强弱，其中，表示t天内的累计病例数．据统计某地发现首例A型传染性病例，在41天内累计病例数达到425例，取，，根据上面的信息可以计算出A型传染病的基本传染数R．已知A型传染病变异株的基本传染数（表示不超过R的最大整数），平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染，以此类推），则感染人数由1个初始感染者增加到9000人大约需要的天数为，，）
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7 . 中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是
，环境温度是
，则经过时间
（单位：分）后物体温度
将满足：
，其中
为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到
初始温度为
的水在
室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：
（I）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却后水温（单位：
）的函数关系，并选取一组数据求出相应的值．（精确到0.01）
（II）“碧螺春”用
左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（I）的条件下，水煮沸后在
室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．
A.
B.
C.
（参考数据：
，
，
，
，
）
，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足： ，其中为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从下降到 所用时间 | 1分58秒 |
从下降到 所用时间 | 3分24秒 |
从下降到 所用时间 | 4分57秒 |
（单位：分）关于冷却后水温（单位：）的函数关系，并选取一组数据求出相应的值．（精确到0.01） （II）“碧螺春”用
左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（I）的条件下，水煮沸后在 室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．A.
B. C. （参考数据：
， ，，，）
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8 . 2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康､减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：
），在
时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：
）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：
(1)下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是___________.
①
②
③
④
(2)对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片___________；（填“合格”､“不合格”）
(3)记血药浓度的峰值为
，当
时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.
），在时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：(1)下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是___________.
①
②
③
④
(2)对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1
，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片___________；（填“合格”､“不合格”）(3)记血药浓度的峰值为
，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.
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