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解题方法
1 . 近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于
与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有
个面角，每个面角是
，所以正方体在各顶点的曲率为 
，故其总曲率为
.
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为
，棱数为
，面数为
，则有：
.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.
与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为.(1)求四棱锥的总曲率；
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为
，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.
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2022-09-19更新
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898次组卷
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7卷引用：2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（已下线）第01讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（练）（已下线）8.1 基本立体图形2（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）第五篇 向量与几何 专题21 曲率与曲率圆 微点3 曲率与曲率圆综合训练（已下线）11.2 锥体（第1课时）（七大题型）（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）（已下线）FHsx1225yl158（已下线）专题14 棱柱、棱锥和棱台-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）
2 . 四面体，又叫三棱锥，是一种简单多面体.指空间两两不相交且不共线的四个平面在空间割出的封闭多面体.它有
个面、个点、
条棱、个二面角.若一个四面体的四个顶点
，
，
，.则可记为四面体
.对下列特殊的四面体，请选择正确得选项（ ）
个面、个点、条棱、个二面角.若一个四面体的四个顶点，，，.则可记为四面体.对下列特殊的四面体，请选择正确得选项（ ）A．若四面体中，面 面 ， ， ， ，记二面角 为 ，直线 与面所成角为 ，则 |
B．若四面体中， ，， 异面直线 与 所成角为 ，且四面体外接球的半径为 ，则四面体体积最大为 |
C．各面均为直接三角形且有至少三条棱长为 的四面体共有个 |
D．若一个平面与正四面体相交得到一个钝角三角形，则该钝角总小于 |
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3 . 四面体
中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，
，则的取值范围是
中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是A． | B． | C． | D． |
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2018-03-22更新
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1265次组卷
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4卷引用：2010年河北省高中数学竞赛试题
