1 . 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体,如图,将底面半径都为
.高都为
的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱(被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面,下底面的圆心为顶点)放置于同一平面
上,用平行于平面
且与平面
任意距离
处的平面截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环,可以证明
圆=
圆环总成立.据此,椭圆的短半轴长为2,长半轴长为4的椭球的体积是___________ .
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2 . 我国古代数学家祖暅求几何体的体积时,提出一个原理:幂势即同,则积不容异.意思是:夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截,若截面积相等,则两个几何体的体积相等,这个定理的推广是:夹在两个平行平面间的几何体,被平行于这两个平面的平面所截,若截得两个截面面积比为
,则两个几何体的体积比也为
.已知线段
长为4,直线
过点
且与
垂直,以
为圆心,以1为半径的圆绕
旋转一周,得到环体
;以
,
分别为上下底面的圆心,以1为上下底面半径的圆柱体
;过
且与
垂直的平面为
,平面
,且距离为
,若平面
截圆柱体
所得截面面积为
,平面
截环体
所得截面面积为
,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1a39f04d1c3551403dbbed35deb01232.png)
________ ,环体
体积为_________ .
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2020-12-14更新
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572次组卷
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8卷引用:安徽省池州市东至县2020-2021学年高三上学期12月大联考数学(文)试题
安徽省池州市东至县2020-2021学年高三上学期12月大联考数学(文)试题安徽省池州市东至县2020-2021学年高三上学期12月大联考数学(理)试题安徽省全省名校实验班2020-2021学年高三上学期大联考文科数学试题(已下线)专题16 空间几何体(客观题)-2021年高考数学(理)二轮复习热点题型精选精练(已下线)专题15 空间几何体(客观题)-2021年高考数学(文)二轮复习热点题型精选精练(已下线)专题15 空间几何体(客观题)-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练(新高考地区专用)江苏省2021届高三高考数学全真模拟试题(一)(已下线)专题22 祖暅原理
3 . 我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等,即
.现将椭圆
绕
轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )
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2020-12-02更新
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3651次组卷
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13卷引用:浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题山东省潍坊第四中学2022届高三上学期第一次过程检测数学试题辽宁省沈阳市二十中学2022-2023学年高三上学期三模考试数学试题(已下线)专题07 立体几何小题常考全归类(精讲精练)-2吉林省长春市第二实验中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题山西省山西大学附属中学校2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题四川省南充高级中学2023届高考模拟检测(七)理科数学试题重庆市2023届高三上学期期中数学试题上海市嘉定区育才中学2024届高三上学期12月月考数学试题(已下线)立体几何新定义(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
4 . 《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题.假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边
为轴旋转而成的几何体(图中长度单位为米),则该粮仓能容纳的体积为________ 立方米.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/23/330a6fbe-54d7-4588-a3b2-7b5fb25aad8d.png?resizew=99)
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5 . 祖暅原理指出:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,例如在计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆
所围成的平面图形绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体,类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/7/3/2498190502494208/2498592430096384/STEM/e03af45f97094691b235c04da9bc88dc.png?resizew=408)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7dd54b9df3402ad91e2d34c40efe0c7a.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/7/3/2498190502494208/2498592430096384/STEM/e03af45f97094691b235c04da9bc88dc.png?resizew=408)
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6 . 运用祖暅原理计算球的体积时,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆
绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/7/3/2498190406008832/2498577785716736/STEM/5832681e8a784f4aaf29b629a02f3de1.png?resizew=554)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa966b9eb79620e797a58435755814f7.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/7/3/2498190406008832/2498577785716736/STEM/5832681e8a784f4aaf29b629a02f3de1.png?resizew=554)
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名校
7 . 祖暅(公元前5-6世纪),祖冲之之子,是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现,比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面
上.以平行于平面
的平面距平面
任意高d处可横截得到
及
两截面,可以证明
总成立.据此,短轴长为4,长轴长为6的椭球体的体积是().
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/4/16/2442986096869376/2443496966684672/STEM/02130107-673c-4914-9a72-c9f880a7740d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b5858ee1ce52b251816757257a11c29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b5858ee1ce52b251816757257a11c29.png)
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2020-04-17更新
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377次组卷
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2卷引用:福建省福州市第一中学2020年高二下学期开学前质检数学试题
名校
8 . 阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的
,且球的表面积也是圆柱表面积的
”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为
,则该圆柱的内切球体积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf31876698721a199c7c53c6b320aa86.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/12e0166cef87d437ba03524bbdb61288.png)
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2020-04-16更新
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1486次组卷
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12卷引用:2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟(理科)试题
2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟(理科)试题2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟(文科)试题四川省成都外国语学校2019-2020学年高二5月月考数学(理)试题四川省成都外国语学校2019-2020学年高二5月月考数学(文)试题2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学(理)试题(已下线)专题12 空间几何体的体积与表面积-2020年高考数学(文)母题题源解密(全国Ⅰ专版)(已下线)专题10 空间几何体的体积与表面积-2020年高考数学(理)母题题源解密(全国Ⅰ专版)(已下线)痛点11 立体几何中的组合体问题-2021年新高考数学一轮复习考点扫描普通高等学校招生国统一考试2020-2021学年高三上学期 数学(文)考向卷(四)四川省泸州市泸州老窖天府中学高2023届高三上学期第四次模拟考试数学理科试题四川省泸州市泸州老窖天府中学高2023届高三上学期第四次模拟考试数学文科试题(已下线)安徽省(九师联盟)2023届二模数学试题变式题6-10
名校
9 . 唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯(如图1所示),它的盛酒部分可以近似地看做是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁表面积固定时(假设内壁表面光滑,表面积为
平方厘米,半球的半径为
厘米),要使酒杯容积不大于半球体积的两倍,则
的取值范围为( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/3/20/2423502394605568/2423855057199104/STEM/e847861398bb4a5eb0f63119bdf5800b.png?resizew=189)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/10/25/b9640d47-f3f6-48f1-884b-9445e2eed5b6.png?resizew=157)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/3/20/2423502394605568/2423855057199104/STEM/e847861398bb4a5eb0f63119bdf5800b.png?resizew=189)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/10/25/b9640d47-f3f6-48f1-884b-9445e2eed5b6.png?resizew=157)
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2020-03-20更新
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1551次组卷
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18卷引用:山西省2019-2020学年高二上学期期中数学(文)试题
山西省2019-2020学年高二上学期期中数学(文)试题河南省新乡市2019-2020学年高三上学期第一次模拟数学(理)试题辽宁省葫芦岛协作校2019-2020学年高三上学期第二次考试 数学(文) 试题辽宁省葫芦岛协作校2019-2020学年高三上学期第二次考试 数学(理)试题山西省2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题(已下线)2020届高三12月第01期(考点07)(文科)-《新题速递·数学》2020届湖北省十堰市高三年级元月调研考试文科数学试题2020届湖北省十堰市高三年级元月调研考试理科数学试题2020届高三1月(考点07)(文科)-《新题速递·数学》2020届海南华侨中学高三第五次月考数学试题湖南省炎德英才杯2019-2020学年高二下学期基础学科知识竞赛数学试题辽宁省本溪市2019-2020学年高二(下)验收数学试题浙江省杭州市第十四中学2021届高三下学期5月模拟考试数学试题北京市西城区北京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题辽宁省铁岭市六校协作体2022-2023学年高三质量检测数学试题(已下线)模块五 专题3 全真拔高模拟(人教B)(已下线)高一下期末真题精选(基础60题60个考点专练)(已下线)核心考点03基本立体图形(2)
名校
10 . 《九章算术》是我国古代数学经典名著,其中有这样一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有-圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该木材,锯口深一寸,锯道长-尺.问这块圆柱形木材的直径是多少?现有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦
尺,弓形高
寸,估算该木材镶嵌在墙体中的体积约为__________ 立方寸.(结果保留整数)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/10/27/9cc431af-616f-417e-9874-2c78c0fb45d1.png?resizew=93)
注:l丈=10尺=100寸,
,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a111f7e835fff43a0e2360063a42071d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/037b342a682cbd4241855a243da3c016.png)
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注:l丈=10尺=100寸,
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2019-12-30更新
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157次组卷
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3卷引用:陕西省渭南市富平县富平中学2019-2020年高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题