1 . 已知椭圆的焦距为，点在上.
（I）求的方程；
（II）过原点且不与坐标轴重合的直线与有两个交点，点在轴上的射影为，线段的中点为，直线交于点，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)若点在椭圆上，且三点共线，求证：点与点的横坐标相同.

3 . 设是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．
（1）记，求证：；
（2）若，点，已知椭圆上的两个动点满足，当时，求直线斜率的取值范围．

4 . 已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.
求证: 为定值.

5 . 已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于异于M的不同两点．直线轴分别交于点．
（1）求椭圆标准方程；
（2）求的取值范围；
（3）证明是等腰三角形．

6 . 已知椭圆C:的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为,，且， 证明:直线过定点(，-l)．

7 . 设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.
（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；
（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.