【推荐1】已知椭圆的离心率为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点和，若为坐标原点），求线段长度的取值范围．

【推荐2】已知椭圆，直线过椭圆的一个焦点和一个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的左顶点，，是椭圆上的两点，△的内切圆的方程为.
（i）求实数的值；
（ii）为椭圆的上顶点，椭圆上是否存在两点，，使得圆是△的内切圆？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点，和平面内一点，过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为，，试求m，n满足的关系式．

【推荐1】已知的三个顶点都在椭圆C：上，且过椭圆的左焦点F，O为坐标原点，M在上，且.
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求的取值范围.

【推荐2】椭圆的离心率为分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，已知面积为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于P，Q两点，过点向轴引垂线交MN于点B，点C为点P关于点B的对称点，求证：C，Q，M三点共线．

【推荐3】已知椭圆：的上､下顶点分别为，，且短轴长为，为椭圆上任意一点，直线，的斜率之积为，，依次为左､右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）山不会忘记你，河不会忘记你，祖国不会忘记你!南仁东，“天眼”之父，被追授“时代楷模”荣誉称号.24年，8000多个日夜，500米口径球面射电望远镜首席科学家､总工程师南仁东心无旁骛，为崇山峻岭间的“中国天眼”燃尽生命，在世界天文史上镌刻下新的高度.“天眼”是世界上最大､最灵敏的单口径射电望远镜，它看似一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号.调试期的“天眼”已经发现了多颗脉冲星，成为国际瞩目的宇宙观测“利器”.在党的十九大报告中，“天眼”与天宫､蛟龙､大飞机等一起，被列为创新型国家建设的丰硕成果……南仁东来不及目睹.但他执着追求科学梦想的精神，将激励一代又一代科技工作者继续奋斗，勇攀世界科技高峰.在“天眼”的建设中大量用到了圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点后反射，反射光线必经过另一焦点.(温馨提示：光线射到曲线上某点反射时，法线垂直于该点处的切线)