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解题方法
1 . 工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》中明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系,引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向,“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业.下表是某地2017-2021年新增企业数量的有关数据:
(1)求
和
的相关系数
(精确到0.01),并推断
和
的线性相关程度
若
,则线性相关程度很强;若
,则线性相关程度一般
;
(2)请根据表中所给的数据,求出
关于
的经验回归方程,并预测2025年此地新增企业的数量.
参考公式:相关系数
,经验回归方程
,其中
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc3bd08a51b31c8976b3c47ee9df0ccf.png)
参考数据:
.
年份(年) | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年份代码![]() | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
新增企业数量![]() | 8 | 17 | 29 | 24 | 42 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fd995178601c2ad7b40f973d268c7bb7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2991502b0be7df4183b9e42b6c53c6e4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d30c484a4e3b8297f7d32c7e44919b74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04582116cd765fcc5a52f44279ad6c94.png)
(2)请根据表中所给的数据,求出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
参考公式:相关系数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6be3ab96c035d1d6615b0f119280be1b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d9cf74bbdee085c44778ac6191e5016b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc3bd08a51b31c8976b3c47ee9df0ccf.png)
参考数据:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a7f863886864773dea53b7c3ddb787c9.png)
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2 . 某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用,需了解年研发费用
(单位:千万元)对年销售量
(单位:千万件)的影响,统计了近10年投入的年研发费用
与年销售量
的数据,经分析数据发现用函数
(其中
均为大于0的常数)拟合效果较好,并对数据作出如下处理,得到相关统计量的值如下表所示:
其中
.根据数据预测投入的年研发费用为4.5亿元时的年销售量为( )(参考数据及公式:
)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97ea8f47d8d8d9e1832d52b1c7425450.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66b890ddd0d534a5434d14aa874f0c6a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/048f8e5aad2fe19840c383dd282f3ba4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/632244ea6931507f8656e1cc3437d392.png)
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
9.4 | 29.7 | 2 | 366 | 5.5 | 439.2 | 55 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6bdfff3a45d97598ac670ff6e55df0d7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bfa949c2ffcd2bacfaa8483d3b00cd09.png)
A.4.78亿件 | B.3.68亿件 | C.47.8亿件 | D.36.8亿件 |
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解题方法
3 . 某高科技公司组织大型招聘会,全部应聘人员的笔试成绩统计如图所示:
(2)该公司2020—2024年每年招聘的新员工人数逐年增加,且这五年招聘的新员工总人数为500,若用这五年的数据求出每年招聘的新员工人数y关于年份代码x(x=年份-2019)的线性回归方程为
,请根据此回归模型预测该公司2026年招聘的新员工人数是否会超过250.
(2)该公司2020—2024年每年招聘的新员工人数逐年增加,且这五年招聘的新员工总人数为500,若用这五年的数据求出每年招聘的新员工人数y关于年份代码x(x=年份-2019)的线性回归方程为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/71c4cfc92407ae6d36bcb3b3107c267b.png)
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解题方法
4 . 某班级有60名同学参加了某次考试,从中随机抽选出5名同学,他们的数学成绩
与物理成绩
如下表:
数据表明
与
之间有较强的线性相关性.
(1)利用表中数据,求
关于
的经验回归方程,并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩;
(2)在本次考试中,规定数学成绩达到125分为数学优秀,物理成绩达到100分为物理优秀. 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为
和
,且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人,请你完成下面的
列联表,依据小概率值
的独立性检验,能否认为数学成绩与物理成绩有关联?
参考公式及数据:
,
,
,
,
,其中
.
下表是
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
数学成绩 | 140 | 130 | 120 | 110 | 100 |
物理成绩 | 110 | 90 | 100 | 80 | 70 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(1)利用表中数据,求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(2)在本次考试中,规定数学成绩达到125分为数学优秀,物理成绩达到100分为物理优秀. 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9eb5ead0db01fc4961b16e85199424ef.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1a263874aa2031f847d06d6cef24aea.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b72fcdc709e77910cd36a26369648b3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0255cd2084765f7019367ff6e575b9d6.png)
数学成绩 | 物理成绩 | 合计 | |
物理优秀 | 物理不优秀 | ||
数学优秀 | |||
数学不优秀 | |||
合计 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c61a54a464400bfcdc8e647843bf8a91.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a58291bd91befe1061530246da983727.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a5da0e1f8c3eb6df994ac45818de257.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d2985b135aecf9dae2e5b29be796ad.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2187714e660234f0b72f2b47d3ea685a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/356b05e46b10ee51c3e43546d73ec96c.png)
下表是
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/953e89f7e797bf8fe9ff31e0d2f66728.png)
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
5 . 2024年2月10日至17日(正月初一至初八),“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行,共举行了8场精彩的烟花秀节目.前5场的观众人数(单位:万人)与场次的统计数据如表所示:
(1)已知可用线性回归模型拟合
与
的关系,请建立
关于
的线性回归方程;
(2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价,某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况,得到的部分数据如表所示,请将
列联表补充完整,并判断能否有
的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关.
参考公式及参考数据:回归方程
中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为
,其中
.
场次编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
观众人数 | 0.7 | 0.8 | 1 | 1.2 | 1.3 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价,某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况,得到的部分数据如表所示,请将
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b72fcdc709e77910cd36a26369648b3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24c4bf61e073c899494b2fb3b767b108.png)
购买A等票 | 购买非A等票 | 总计 | |
男性观众 | 50 | ||
女性观众 | 60 | ||
总计 | 100 | 200 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1db6103cb0f1d2bd6b19235d53ee7e98.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22f6db695542fb83e732d52f5fb1ded2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/356b05e46b10ee51c3e43546d73ec96c.png)
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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7日内更新
|
1066次组卷
|
4卷引用:四川省内江市2024届高三第三次模拟考试数学理科试题
解题方法
6 . 假期中,来自沿海城市的小明和小强去四川旅游,他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高,气压也随之降低,包装袋内的气压大于外面气压,从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系.
(1)利用线性回归分析求
与
之间的线性回归方程;(
的值精确到0.001)
(2)小明和小强打算去九寨沟,可以利用(1)中的方程,估计九寨沟A景点(海拔2800m)的大气压.(精确到0.01)
附:①对于一组数据
,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
②参考数据:
,
.
海拔高度![]() | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
大气压![]() | 101.2 | 100.6 | 100.2 | 94.8 | 88.2 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/03c6cf002710b9137f3a88500949f22c.png)
(2)小明和小强打算去九寨沟,可以利用(1)中的方程,估计九寨沟A景点(海拔2800m)的大气压.(精确到0.01)
附:①对于一组数据
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56720e2f2b0ddd72156da495923698da.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2852ae85cfcc804b3192ea8543c88938.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/92abae836b8026511113ad8c3ea23028.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a10cb9fd6d5c388cd9d28556d9e9dd8c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/070d8523be6788ad4b39642b4c085633.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ebff20f21ae41fd8d1f1e3145895842.png)
②参考数据:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81252997eb783909e9f6fdded961b8db.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/21903c6de9826c541e30f3a8001b4d96.png)
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7 . 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产,影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量
与温度
的关系可以用模型
(其中
为自然对数的底数)拟合,设
,其变换后得到一组数据:
由上表可得经验回归方程
,则当
时,蝗虫的产卵量
的估计值为__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2b96969c5c96977de135616a637ddc52.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/041a7c8fc017f596542c5e6ec7d1c40b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54d28162b2a8309f0f7f193e733be414.png)
x | 20 | 23 | 25 | 27 | 30 |
z | 2 | 2.4 | 3 | 3 | 4.6 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2b1e1b6b9527edf752dadbbdc0d95f88.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eee1e5b1c4d241fd4f5ea47c90bcceb9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
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8 . 为了适应市场需求,同时兼顾企业盈利的预期,某科技公司决定增加一定数量的研发人员,经过调研,得到年收益增量
(单位:亿元)与研发人员增量
(人)的10组数据.现用模型①
,②
分别进行拟合,由此得到相应的经验回归方程,并进行残差分析,得到如图所示的残差图.
.
(1)根据残差图,判断应选择哪个模型;(无需说明理由)
(2)根据(1)中所选模型,求出
关于
的经验回归方程;并用该模型预测,要使年收益增量超过8亿元,研发人员增量至少多少人?(精确到1)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/33b447ac3d1a965572c31b6e4c18d4b8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26a34dd2aaeb2144ea4d31339894b62e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fbc8a48e2398d77944199d0e300c6d03.png)
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
7.5 | 2.25 | 82.50 | 4.50 | 12.14 | 2.88 |
(1)根据残差图,判断应选择哪个模型;(无需说明理由)
(2)根据(1)中所选模型,求出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
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解题方法
9 . 航天行业拥有广阔的发展前景,有越来越多的公司开始从事航天研究.某航天公司研发了一种火箭推进器,为测试其性能,对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计,数据如下:
参考数据:
,
,
,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/17f48dcf518c29389b922a0fd6f09294.png)
(1)建立y关于x的回归模型
,根据所给数据及回归模型,求
;(精确到0.1)
(2)该公司进行了第二项测试,从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试,对其中60台进行飞行前保养,测试结束后,100台推进器中有20台报废,其中保养过的推进器占比35%.请根据统计数据完成2×2列联表,并根据小概率值
的独立性检验,能否认为推进器报废与保养有关?
附:回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,
,
;
飞行距离x(千公里) | 54 | 62 | 69 | 78 | 88 | 100 | 109 |
损坏零件数y(个) | 61 | 73 | 88 | 100 | 118 | 142 | 160 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9cf9087bb37b09d98343b262988f1912.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/74a38a40364cbbee311bd83063cd896b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d6b6cdee525390b543641cd86c517b4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/17f48dcf518c29389b922a0fd6f09294.png)
(1)建立y关于x的回归模型
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1db6103cb0f1d2bd6b19235d53ee7e98.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/abc5505526d11946ca7d3a4421a9e08f.png)
(2)该公司进行了第二项测试,从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试,对其中60台进行飞行前保养,测试结束后,100台推进器中有20台报废,其中保养过的推进器占比35%.请根据统计数据完成2×2列联表,并根据小概率值
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ead9d6ff51996f3ebace6f212e11a9e4.png)
保养 | 未保养 | 合计 | |
报废 | 20 | ||
未报废 | |||
合计 | 60 | 100 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1db6103cb0f1d2bd6b19235d53ee7e98.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/68fc56230e6d62ac3aaf03363fe0c97f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2187714e660234f0b72f2b47d3ea685a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/356b05e46b10ee51c3e43546d73ec96c.png)
0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
10 . 桹据统计得到某蔬菜基地茄子亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示.
,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)求y关于x的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为10千克时,茄子亩产量的增加量y约为多少?
附:相关系数公式
,参考数据:
,回归方程
中斜率的最小二乘估计公式为:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8d81c547285535b686ff1713be668e0c.png)
(2)求y关于x的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为10千克时,茄子亩产量的增加量y约为多少?
附:相关系数公式
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