1 . 芯片制造中，离子注入是一道重要的工序。如图是一部分离子注入工作原理示意图。从离子源A处飘出带正电的离子初速度不计，经匀强电场加速后，从P点以速度v沿半径方向射入圆形磁分析器，磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场（大小未知），与矩形离子控制区abcd相切于Q点，ad边长为L，开始时控制区无任何场，离子从Q点离开磁分析器后可匀速穿过控制区，注入cd处的硅片上。已知离子质量为m，电荷量为q，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形，bQ足够长，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）求加速电场的电压U；
（2）求圆形磁分析器的半径r；
（3）若在控制区加上垂直于纸面向里磁场，其磁感应强度大小沿ad方向按的规律均匀变化，x为该点到ab边的距离，k为已知的常数且，则要使离子不打到硅片上，ab边所在位置的磁感应强度至少为多少？

3 . 如图是离子控制器工作原理示意图。装置由加速电场、电磁分析器、偏转电场和偏转磁场组成。各组件中心截面均分布在坐标平面xOy。加速电场在第三象限，带正电离子自O点由静止释放，自A点垂直x轴进入电磁分析器。电磁分析器截面是内外半径分别为和的四分之一圆环，圆心均处在坐标原点，电磁分析器所处区域可以周期性的加入垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B（已知），或者指向坐标原点的辐向电场，离子进入分析器位置和射出位置到圆心等距，且无论是电场还是磁场，离子均在该区域做半径为R的圆周运动。第一象限存在沿y轴负向的匀强电场，离子第一次穿越x正半轴时速度方向与x轴正方向夹角为45°。第四象限存在垂直纸面的匀强磁场。整个系统置于真空中，已知离子离开第二象限时速度为v，不计离子重力。
（1）求电磁分析器中的离子轨迹所处区域的电场强度E与磁感应强度B之比和离子的比荷；
（2）求第一项象限匀强电场的电场强度；假设第四象限磁场方向垂直纸面向外，为使离子不再次穿过y轴，第四象限磁场磁感应强度的最小值；
（3）如果第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，在区域磁感应强度为；在磁感应强度为，区域磁感应强度为B，……，区域磁感应强度为，求离子第二次穿越x正半轴之前，在运动过程中离x轴的最大距离。

5 . 中国第一台高能同步辐射光源（HEPS）将在2024年辐射出第一束最强“中国光”，HEPS工作原理可简化为先后用直线加速器与电子感应加速器对电子加速，如图甲所示，直线加速器由多个金属圆筒（分别标有奇偶序号）依次排列，圆筒分别和电压为U₀的交变电源两极相连，电子在金属圆筒内作匀速直线运动。一个质量为m、电荷量为e的电子在直线加速器0极处静止释放，经n次加速后注入图乙所示的电子感应加速器的真空室中，图乙中磁极在半径为R的圆形区域内产生磁感应强度大小为B₁=kt（k>0）的变化磁场，该变化磁场在环形的真空室中激发环形感生电场，使电子再次加速，真空室内存在另一个变化的磁场B₂“约束”电子在真空室内做半径近似为R的圆周运动，已知感生电场大小为（不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒狭缝的时间），求：
（1）电子经第一次加速后射入1号圆筒的速率；
（2）电子在感应加速器中加速第一周过程中动能的增加量，并计算电子运动第一周所用的时间；
（3）真空室内磁场的磁感应强度B₂随时间的变化表达式（从电子刚射入感应加速器时开始计时）。