1 . 在水平地面上手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球（可视为质点），给小球一初速度，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳的张力恰好达到最大值而突然断掉，球飞行水平距离d后落地。如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长R为，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）绳断时球的速度大小v为多少；
（2）轻绳能承受的最大拉力T为多大；
（3）使绳长变为L，让球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时恰好张力达到最大值而断掉，要使球抛出的水平距离最大，则：绳长应是多少？最大水平距离为多少？

2 . 如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动．已知当小球运动到最高点时，轻杆对小球作用力大小为，取重力加速度，求：
（1）小球运动的角速度；
（2）小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力的大小。

3 . 如图所示，一半径为R的光滑半球面开口向下，固定在水平面上。为了使一个质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动（圆心为O′），对小球施加一个大小为F＝kv的力（图中未画出，k为比例系数，v为小球的速率），F的方向总垂直速度指向圆心O′。已知：球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜），重力加速度为g。求k的最小值以及小球P相应的速率v。

5 . 在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m，绳的长度为l，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，摆到最低点时的速率。不计空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，取g=10m/s²。
（1）求选手摆到最低点时对绳的拉力大小；
（2）若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。

6 . 如图所示，一长L=1m的水平传送带以v₀=1m/s的速度逆时针匀速转动，其右端B处平滑连接着一个固定在竖直平面内、半径R=0.5m的光滑四分之一圆轨道。传送带左端A与光滑水平面平滑连接。一轻质弹簧的左端固定在水平面某处。质量m=1kg的小物块P在外力作用下初次压缩弹簧并处于静止状态，弹簧与小物块不拴接，此时弹簧的弹性势能E_P=19J。现撤去外力，弹簧伸长，小物块脱离弹簧后滑上传送带。小物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2。（g=10m/s²）试求：
（1）小物块第一次经过B点后能够上升的最大高度；
（2）小物块第6次经过圆轨道最低点时对轨道的压力大小；
（3）小物块第20次压缩弹簧的过程中，弹簧弹性势能的最大值。

7 . 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在北京举办，跳台滑雪是最具观赏性的项目之一、如图所示，跳台滑雪赛道由跳台、助滑道（可视为圆心为O的圆轨道）和着陆坡三部分组成，其中助滑道半径OA与竖直线OB夹角为60°。若比赛中，质量m=60kg的运动员从跳台A点以初速度v₀=2m/s滑下，到达B点后水平飞出，落在着陆坡上的P点。已知A、B间高度h=30m，B、P间距离s=75m，着陆坡倾角α=37°，运动员受到的空气阻力不计，g取10m/s²，sin37°=0.6。求：
（1）运动员从B到P运动的时间；
（2）运动员到达B点时对助滑道的压力；
（3）运动员在AB段运动过程中克服阻力所做的功。

8 . 如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。
（1）若ω＝ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为0，求ω₀；
（2）当ω＝1.2ω₀时，小物块仍与罐壁相对静止，求小物块受到的摩擦力的大小和方向？

9 . 如图所示，两小球P、Q用不可伸长的细线连接，分别穿在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，球P的质量为m=0.1kg，球Q的质量为M=0.3kg，两球均可视为质点。当整个装置以竖直杆为轴以角速度ω匀速转动时，两金属球始终与杆在图示位置保持相对静止，已知球P与竖直杆之间距离为L₁=0.75m，细线长度为L=1.25m，球P与水平杆之间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s²。求ω的取值范围。

10 . 如图所示，一个小球可以绕O点在竖直面内做圆周运动。B点是圆周运动的最低点，不可伸长的悬线的长为L。现将球拉至A点，悬线刚好拉直，悬线与竖直方向的夹角θ=53°，给小球一个水平向右的初速度，结果小球刚好平抛到B点，小球的质量为m。重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小球的初速度大小；
（2）小球在B点开始做圆周运动时悬线的张力。