1 . 理论研究表明，物体在地球附近都受到地球对它的万有引力作用，具有引力势能。设物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能可表示为E_p=-G，其中G是引力常量，M是地球的质量（地球的质量M未知），m是物体的质量，r是物体距地心的距离。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，求：
(1)第一宇宙速度；
(2)第二宇宙速度。

2 . 人造地球卫星绕地球旋转（设为匀速圆周运动）时，既具有动能又具有引力势能（引力势能实际上是卫星与地球共有的，简略地说此势能是人造卫星所具有的）。设地球的质量为M，以卫星离地球无限远处时的引力势能为零，则质量为m的人造卫星在距离地心为r处时的引力势能为（G为万有引力常量）。
(1)试证明：在大气层外任一轨道上绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所具有的机械能的绝对值恰好等于其动能；
(2)当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示。用R表示地球的半径，M表示地球的质量，G表示万有引力常量，试写出第二宇宙速度的表达式；
(3)设第一宇宙速度为v₁，证明：。

3 . 2019年4月10日，天文学家召开全球新闻发布会，宣布首次直接拍摄到黑洞的照片如图所示。黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸（光速为c）。已知引力常量为G。
(1)如果天文学家观测到一天体以速度v绕某黑洞做半径为r的匀速圆周运动，求黑洞的质量M；
(2)若黑洞的质量为M，半径为R，其逃逸速度公式为。求该黑洞的最大半径。

4 . 嫦娥二号自从发射成功后先后经历了绕地运转、奔向月球、绕月运转、绕L2点运转、飞越小行星图塔蒂斯等过程，目前，嫦娥二号已经挣脱地球束缚成为太阳系的小行星，围绕太阳以椭圆轨道运行，在这期间嫦娥二号的主要轨迹示意图如下图所示。
(1)请回答出将嫦娥二号直接从地球发射成为环绕太阳运行的小行星需要的最小发射速度；
(2)若图塔蒂斯绕太阳运行仅靠太阳的万有引力提供向心力，将图塔蒂斯绕太阳运行轨道视为圆，轨道半径取r=3.8×10¹¹m，周期取T=1500天，万有引力常量取G=6.7×10^-11N·m²/kg²，π²=10，试估算太阳的质量（计算结果保留一位有效数字）；
(3)假设嫦娥一号、嫦娥二号在同一轨道平面内运动，两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示，用T₁、T₂分别表示嫦娥一号、嫦娥二号的周期，从某次相距最近开始计时到第一次相距最远结束计时需要多少时间？

5 . 要使卫星能脱离地球的吸引而成为其他天体的卫星，最小发射速度不低于16.7 km/s.( )

6 . 某行星的质量为地球质量的，半径为地球半径的。现向该行星发射探测器，并在其表面实现软着陆。探测器在离行星表面h高时速度减小为零，为防止发动机将行星表面上的尘埃吹起，此时要关闭所有发动机，让探测器自由下落实现着陆。已知地球半径 R₀=6400km，地球表面重力加速度g₀=10m/s²，不计自转的影响（结果保留两位有效数字。你可能用到的数据有：，，，）。
(1)若题中h=4m，求探测器落到行星表面时的速度大小；
(2)若在该行星表面发射一颗绕它做圆周运动的卫星，发射速度至少多大；
(3)由于引力的作用，行星引力范围内的物体具有引力势能。若取离行星无穷远处为引力势能的零势点，则距离行星球心为 处的物体引力势能，式中G为万有r引力常量，M为行星的质量，m为物体的质量。求探测器从行星表面发射能脱离行星引力范围所需的最小速度。

7 . 发射宇宙飞船的过程要克服引力做功，已知将质量为m的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为r处的过程中，引力做功为W＝，飞船在距地球中心为r处的引力势能公式为E_p＝－，式中G为引力常量，M为地球质量．若在地球的表面发射一颗人造地球卫星，发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为第二宇宙速度(也称逃逸速度)．
(1)试推导第二宇宙速度的表达式；
(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M₀＝1.98×10³⁰ kg，求它可能的最大半径．

8 . 星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度.星球的第二宇宙速度v₂与第一宇宙速度v₁的关系是v₂=v₁.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的1/6.不计其他星球的影响，求该星球的第二宇宙速度.

9 . （1）要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r₂的预定轨道2上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r₁的近地暂行圆轨道上绕地球做匀速圆周运动。如图所示，在A点，使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道1上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道2运行，试求卫星从A点到B点所需的时间。已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R。
（2）物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能。若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m₀的质点距质量为M₀的引力源中心为r₀时，其万有引力势能（式中G为引力常数）。若卫星在椭圆轨道1上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变。已知卫星在轨道1上运动时的质量为m，A、B点距地表面的高度分别为h₁、h₂，经过A点的速度大小为v，地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R。请根据能量守恒定律求它经过B点时的速度大小；
（3）在（2）问的基础上，若要让这颗人造地球卫星能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，则必须使它的速度大于或等于第三宇宙速度。若把地球绕太阳公转的轨道近似认为是圆，且不计其它星体对飞行物体的作用力，地球的公转速度为29.8km/s，求第三宇宙速度。

10 . 已知地球质量为M、半径为R，万有引力常量为G．卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动所需的速度称为第一宇宙速度，卫星从地面发射，恰好能脱离地球引力束缚的速度称为第二宇宙速度，已知．根据以上条件，并以卫星脱离地球引力时的引力势能为0，求质量为m的卫星在地球表面时的引力势能．(忽略空气阻力的影响)