1 . 2022年北京冬奥会上，滑雪天才少女谷爱凌在赛场上大放异彩，她擅长自由式滑雪，她的赛道里有如图所示的一收尾阶段，简化为半径的光滑圆弧雪道BCD与足够长的粗糙轨道DE在D处平滑连接，O为圆弧轨道BCD的圆心，C点为圆弧轨道的最低点，半径OB、OD与OC的夹角分别为53°和37°。若谷爱凌及其滑雪装备总质量（视为质点）从B点左侧高为处的A点水平抛出，恰从B点沿切线方向进入圆弧轨道。已知滑雪板与轨道DE间的动摩擦因数，不计空气阻力重力加速度g取，，，求：
（1）谷爱凌水平抛出时的初速度大小；
（2）谷爱凌在C点时所受轨道的支持力大小；
（3）若谷爱凌平抛后不再发力，则她在DE段滑行路程为多大（保留三位有效数字）？

2 . 如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C。一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板。滑板运动到C时被牢固粘连。物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，板右端到C的距离L在R<L<5R范围内取值，E距A为s=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度取g。
（1）求物块滑到B点时对轨道的压力；
（2）试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功W_f与L的关系，并判断物块能否滑到CD轨道的中点。
   

3 . 如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC部分为水平轨道，与曲面AB平滑连接。CDF和FMN是竖直放置的半圆轨道，在最高点F对接，与BC在C点相切。NP为一与FMN相切的水平平台，P处固定一轻弹簧。点D、N、P在同一水平线上。水平轨道BC粗糙，其余轨道均光滑，可视为质点的质量为kg的带正电的滑块从曲面AB上某处由静止释放。已知匀强电场N/C，BC段长度1m，CDF的半径m，FMN的半径r=0.1m，滑块带电量C，滑块与BC间的动摩擦因数，重力加速度m/s²，求：
（1）滑块通过F点的最小速度v_F；
（2）若滑块恰好能通过F点，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h₀；
（3）若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h需要满足的条件。
   

4 . 如图所示，CD左侧存在场强大小，方向水平向左的匀强电场，一个质量为、电荷量为的光滑绝缘小球，从底边BC长为、倾角的光滑直角三角形斜面顶端A点由静止开始下滑，运动到斜面底端C点后进入一光滑竖直半圆形细圆管内（C处为一小段长度可忽略的光滑圆弧，圆管内径略大于小球直径，半圆直径CD在竖直线上），恰能到达细圆管最高点D点，随后从D点离开后落回斜面上某点P，（重力加速度为g，，）求：
（1）小球到达C点时的速度；
（2）C点对轨道的正压力
（3）小球从D点运动到P点的时间t。
   

5 . 滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8m，一运动员从轨道上的A点以3m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为60kg，B、E两点与水平面CD的竖直高度分别为h和H，且，，g=10m/s²。求：
（1）运动员从A运动到达B点时的速度大小和在空中飞行的时间；
（2）轨道CD段的动摩擦因数、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力；
（3）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时的速度大小；如不能，则最后停在何处？

6 . 轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m的圆环相连，圆环套在倾斜的粗糙固定杆上，杆与水平面之间的夹角为α，圆环在A处时弹簧竖直且处于原长，将圆环从A处静止释放，到达C处时速度为零。若圆环在C处获得沿杆向上的速度v，则恰能回到A。已知，B是AC的中点，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则（       ）

A．下滑过程中，环受到的合力先减小后增大

B．下滑过程中，环与杆摩擦产生的热量为

C．上滑过程中，弹簧对环做功为

D．上滑时经过B点的速度大于下滑时经过B点的速度

7 . 下图所示，固定在水平地面上、倾角为、足够长的斜面体，段光滑，段粗糙程度相同。完全相同且长为L、质量分布均匀的木板1、2、3、4靠在一起，从N点由静止释放，四块长木板恰好能完全进入段。已知，木板所受摩擦力的大小与进入的长度成正比，重力加速度为g。求：
（1）段的动摩擦因数；
（2）第二块木板完全进入段时的速度大小；
（3）四块木板运动过程中的最大速度。

8 . 如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为5m的小物块A以某一速度向质量为m的静止小物块B运动。A、B发生弹性正碰后，B到达半圆弧轨道最高点时对轨道压力为20mg。A、B离开半圆弧轨道后与水平面发生多次碰撞，碰撞时间极短，碰撞前后竖直分速度反向、大小变为碰前的0.8倍，水平分速度保持不变。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
（1）B从半圆弧轨道飞出后第一次落到水平面的位置到Q点的距离x；
（2）A、B碰前瞬间物块A的速度v₀的大小；
（3）A从半圆弧轨道飞出到第一次落到水平面的时间t₀；
（4）A、B分别与水平面发生第k次碰撞过程中损失的机械能之比η。

10 . 如图为游乐场所的轨道，简化为由倾斜直线轨道AB、水平轨道BC、半圆形轨道CDE、水平轨道EF组成，已知轨道AB的倾角θ=37°，AB间高度差H=12m，B、C间距离4m，轨道CD的半径R=4.8m，轨道DE的半径r=2.4m，在轨道ABC上运动时轨道车（含人）受到的阻力为上表面正压力的0.2倍，其余阻力均不计，车轮分布在轨道上、侧、下三面（如图），一起把轨道抱住。游客从A点乘坐轨道车由静止开始沿轨道ABC运动（不计B点转折处动能损失）接着沿轨道CDEF运动，最后从F点离开，制动进入μ=0.3的水平地面。已知轨道车功率P恒为2×10³W，进入半圆轨道CD前发动机工作时间由场所管理者控制，进入半圆轨道CD后发动机始终关闭，游客与轨道车质量均为m=50kg，可视为质点。
（1）某次滑行中，经过C点的速度，求通过C点时人对车的压力；
（2）满足（1）中的条件下，求发动机的工作时间t；
（3）现用轨道车对轨道进行安全测试，轨道所能承受的压力不大于轨道车重力的8倍，求能在安全完成完整测试的情况下，轨道车停止位置离F点的范围。