1 . 2022年北京冬奥会将“水立方”升级改造成“冰立方”，成为冰壶比赛场地。如图所示，投掷线AB距离圆心O为30m。为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰面光滑而减小减速时的摩擦力。若不擦冰时，冰壶与冰面的动摩擦因数为，擦冰面后动摩擦因数减小至。在某次训练中，运动员推着冰壶C到达投掷线中点时的速度为，接着立即将冰壶以一定的速度向O点推出，推出冰壶后运动员静止（此过程中运动员与冰壶之间的作用力远大于它们所受的摩擦力）。运动员的质量，所有冰壶的质量均为，冰壶可看作质点，g取，冰壶之间碰撞的机械能损失忽略不计。
（1）求在投掷线处将冰壶推出前后运动员对冰壶所做的功；
（2）如果在圆垒圆心O有对方的冰壶，为了确保将对方冰壶撞出圆垒区，运动员用毛刷擦冰面的长度至少为多少米？（圆垒的半径，计算结果保留一位小数）

2 . 如图所示，一质量为m的小球a静置于弹射装置P（大小可忽略）A点处，倾角为长为的粗糙倾斜直轨道AB和管道CDQ处于同一竖直平面内。管道CDQ由两段半径为R的四分之一光滑圆管CD及水平粗糙管道DQ（长度可调，且Q处用弹性膜封闭，小球碰撞后以原速率返回）组成，其下端有一高度可伸缩的支撑杆，管道内径远小于管道半径。管口C处静置一质量为m的小球b。已知：，小球与AB及DQ间的动摩擦因数均为，小球直径略小于管道内径且可视为质点。
（1）若小球a释放后恰好可以到达B点，求弹簧的弹性势能；
（2）若弹性势能为，小球能够飞离B点且恰好与小球b发生水平弹性正碰，求BC水平距离及管口C点距水平面的高度H；
（3）若条件同（2），则小球b第一次经过圆管道D点时对管道的压力F；
（4）若条件同（2），则小球b第一次向左能返回圆管CD，且不与小球a再次相碰，则DQ可调的长度的范围。
   

3 . 如图，2022年北京冬奥会上自由式滑雪U型池半圆半径为，质量为的运动员从距池边高为处自由下落，由左侧上边缘点进入池中，到达最低点的速度大小为，从右侧点飞出后上升的最大高度为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　）

A．此过程中，运动员克服摩擦力和空气阻力的功为

B．运动员第一次滑到点时，对轨道的压力大小为

C．运动员第一次滑到点时，重力的瞬时功率为

D．若，则运动员又恰好能从右侧返回轨道左侧边缘点

4 . 人类终将会踏上系外星球。一个系外星球质量和半径均为地球质量和半径的2倍，系外星球和地球表面，分别放置如图所示完全相同的轨道，和是两个光滑的四分之一圆弧，半径相等均为R，在同一平面内，两圆弧的圆心O、与B在同一条竖直线上。现分别在轨道上某点D（图中未画出）无初速释放一大小不计、质量为m的小物体。忽略空气阻力，地球表面重力加速度为g。求：
（1）若D点与A重合，求在系外星球与地球上物体在B点受到的支持力大小之比；
（2）若与的夹角为，求在系外星球上物体离开圆弧轨道时速度大小。

5 . 排球运动是我国较为普遍的运动项目之一，也深受人民群众的喜爱。如图所示，某同学正在练习垫球，质量的排球一直在竖直方向上运动，排球在空中运动时，受到大小、方向始终与排球运动方向相反的空气阻力的作用。在某次垫球过程中，该同学双手平举保持静止，排球从离手高度处静止开始下落，排球与手碰撞后反弹高度。重力加速度大小取，求：
（1）排球与手碰撞过程中损失的能量；
（2）在本次垫球过程中，要使反弹高度与排球下落的高度都为，该同学对排球应做多少功。（设碰撞位置、因碰撞而损失的能量都不改变）

6 . 如图所示，在水平的PQ面上有一小物块（可视为质点），小物块以某速度从P点最远能滑到倾角为θ的斜面QA上的A点（水平面和斜面在Q点通过一极短的圆弧连接）。若减小斜面的倾角θ，变为斜面QB（如图中虚线所示），小物块仍以原来的速度从P点出发滑上斜面。已知小物块与水平面和小物块与斜面的动摩擦因数相同，AB为水平线，AC为竖直线。则（　　）

A．小物块恰好能运动到B点

B．小物块最远能运动到B点上方的某点

C．小物块只能运动到C点

D．小物块最远能运动到B、C两点之间的某点

7 . 如图所示，长度的光滑水平轨道BC左端与半径的竖直四分之一光滑圆弧轨道AB在B点平滑连接，右端与竖直半圆形光滑轨道CDE在C点平滑连接。将一质量的小物块从距离A点正上方处由静止释放，小物块恰好能到达E点。重力加速度g取10m/s²，求：
（1）物块通过B处时对轨道的压力大小：
（2）半圆弧轨道CDE的半径；
（3）若水平面BC粗糙且与物块之间的动摩擦因数，通过计算说明小物块在半圆轨道CDE上运动时是否会脱离半圆形轨道：若不会脱离半圆轨道，小物块最终会停在何处。（结果用分式表示）

8 . 如图所示，同一竖直平面内有三段半径均为R的光滑圆弧轨道，质量为m的物体从OA圆弧某处静止释放，经过A出后小球沿第二段BC圆弧轨道运动，经过粗糙水平面CD后，小球从D进入第三段圆弧后最终从E点飞出。已知C、D是圆弧轨道最低点，A、B是圆弧轨道最高点，物体与粗糙水平面间的动摩擦因数，求：
（1）物体从斜面下滑的角度满足什么条件，物体才不会从B点脱离轨道。
（2）如果物体从O点静止下滑，下滑到轨道D处，物体对轨道的压力。
（3）在上一问中，物体从E点飞出后，当物体到达最高点时，最高点与D点的水平距离s。

9 . 如图，在倾角为37°的绝缘斜面AB段，有垂直斜面向下的匀强电场E。质量，电荷量为的物体（视为质点），以初速度从A开始下滑，经过斜面底端C点后进入绝缘水平面运动，直到停止在D处，已知物体与斜面、水平面的动摩擦因数均为。已知，，物体经过C时没有能量损失，求：
（1）物体到达C时的瞬时速度；
（2）斜面AB段的长度；
（3）从A点运动到D点总时间。

10 . 滑板运动是青少年喜欢的运动之一，某滑板运动场地如图所示，水平面BC与斜面AB和圆弧CD平滑连接，滑板爱好者站在滑板甲上由静止从A点滑下，同时另一完全相同的滑板乙从圆弧上的D点由静止释放。两滑板在水平面上互相靠近时，滑板爱好者跳到滑板乙上，并和滑板乙保持相对静止，此后两滑板沿同一方向运动且均恰好能到达D点，被站在D点的工作人员接收。已知斜面AB的倾角，圆弧CD的半径R=2m，圆心O与D点的连线与竖直方向的夹角，滑板质量m=4kg，滑板爱好者的质量M=60kg，不计空气阻力及滑板与轨道之间的摩擦，滑板爱好者与滑板均可视为质点，取，，。求：
（1）滑板乙在下滑过程中经过圆弧最低点时，对C点压力的大小；
（2）斜面上AB间的距离。