【推荐1】某单位有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用A密码．
(1)求第3周使用A密码的概率；
(2)求第周使用A密码的概率；
(3)记前周中使用B密码的次数为，求．

【推荐2】已知数列中，，，对任意有成立.
(I)若是等比数列，求的值；
(II)求数列的通项公式；
(III)证明：对任意成立.

【推荐3】设等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，证明：.

【推荐1】设等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，证明：.

【推荐2】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式：
（2）若，求正整数m的值；
（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由.

【推荐3】设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？
（2）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；
（3）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.

【推荐1】已知等差数列的公差为,首项为正数，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）是否存在三个不等正整数,使成等差数列且成等比数列．

【推荐2】若对于数列{a_n}中的任意两项a_i，a_j（i＞j），在{a_n}中都存在一项a_m，使得a_m＝，则称数列{a_n}为“X数列”，若对于数列{a_n}中的任意一项a_n（n≥3），在{a_n}中都存在两项a_k，a_l（k＞l），使得a_n＝，则称数列{a_n}为“Y数列”．
（1）若数列{a_n}为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{a_n}是否为“X数列”，并说明理由；
（2）若数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ﹣1（n∈N*），求证：数列{a_n}为“Y数列”；
（3）若数列{a_n}为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：a₁，a₂，a₃，a₄成等比数列．

【推荐3】在数列中，，且对任意的，、、构成为公差的等差数列.
（1）求证：、、成等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，试问当时，数列是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.