若定义在
上的函数
满足：对于任意实数
、
，总有
恒成立.我们称
为“类余弦型”函数.
（1）已知为“类余弦型”函数，且
，求
和
的值.
（2）在（1）的条件下，定义数列
求
的值.
（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数
，总有
，证明：函数为偶函数；设有理数
，
满足
，判断
和
的大小关系，并证明你的结论.
上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数.（1）已知
为“类余弦型”函数，且，求和的值.（2）在（1）的条件下，定义数列
求的值.（3）若
为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证明：函数为偶函数；设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.
更新时间：2020-09-06 21:55:16
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】设定义在
上的函数
满足：①对
，
，都有
；②
时，
；③不存在
，使得
.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在上单调递增；
(3)设函数
，
，不等式
对
恒成立，试求
的值域.
上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得.(1)求证：
为奇函数；(2)求证：
在上单调递增；(3)设函数
，，不等式对恒成立，试求的值域.
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】定义
，A中元素称为x奇函数；
，B中元素称为y奇函数；
，C中元素称为双偶函数．例如∶
，
，
(1)在下面横线上填下列词的一个∶ “真包含” “真包含于”“相等”，A∩B C，并说明理由；
(2)若所有项系数均为正数的多项式函数g（x，y），满足g（x，y）∈C，且g（x，y）=g（y，x），则可以找到关于t的多项式函数h（t），使得当x>0、y>0时，g（x，y）≥h（xy）， 且等号当x= y>0时取到，求这样的h（t）；
(3)证明∶对任何函数f（x，y），x∈R，y∈R，均可得到如下分解∶
，其中
为x奇函数，
为y奇函数，
为双偶函数．
，A中元素称为x奇函数；，B中元素称为y奇函数；，C中元素称为双偶函数．例如∶，，(1)在下面横线上填下列词的一个∶ “真包含” “真包含于”“相等”，A∩B C，并说明理由；
(2)若所有项系数均为正数的多项式函数g（x，y），满足g（x，y）∈C，且g（x，y）=g（y，x），则可以找到关于t的多项式函数h（t），使得当x>0、y>0时，g（x，y）≥h（xy）， 且等号当x= y>0时取到，求这样的h（t）；
(3)证明∶对任何函数f（x，y），x∈R，y∈R，均可得到如下分解∶
，其中为x奇函数，为y奇函数，为双偶函数．
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】已知数列
是无穷数列，满足
.
（1）若
，
，求
，
，
的值；
（2）求证：“数列中存在
使得
”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得
.
是无穷数列，满足.（1）若
，，求，，的值；（2）求证：“数列
中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；（3）求证：存在正整数k，使得
.
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(0.15)
解题方法
【推荐2】已知函数
满足：①的一个零点为2；②的最大值为1；③对任意实数都有
.
(1)求
，
，
的值；
(2)设函数
是定义域为
的单调增函数，且
.当
时，证明：
.
满足：①的一个零点为2；②的最大值为1；③对任意实数都有.(1)求
，，的值；(2)设函数
是定义域为的单调增函数，且.当时，证明：.
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，都有
，则称函数
与
是否为“H函数”，并说明理由；
是“H函数”，求实数a的取值范围；
，对任意正数s、t，都有
，
，证明：对任意
，都有
．
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】已知数列的前
项和为
，且满足
，
，设
，
.
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）若
，，求实数的最小值；
（Ⅲ）当
时，给出一个新数列
，其中
，设这个新数列的前项和为
，若可以写成
（，
且
，
）的形式，则称为“指数型和”.问
中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
的前项和为，且满足，，设，.（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；（Ⅱ）若
，，求实数的最小值；（Ⅲ）当
时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
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【推荐2】已知数列
满足
，，
，又
．
（Ⅰ）求证数列
是等比数列，并求出的通项公式；
（Ⅱ）若
的前和为，
．
①判断并证明数列
的单调性；
②求证：
．
满足，，，又．（Ⅰ）求证数列
是等比数列，并求出的通项公式；（Ⅱ）若
的前和为，．①判断并证明数列
的单调性；②求证：
．
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是各项为正数且公差为
的等差数列
依次成等比数列；
，使得
依次成等比数列，并说明理由；
，使得
依次成等比数列，并说明理由．
【推荐1】如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数
使得三个数
、
、
仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”.
（1）对于“三角形数”
、
、
，其中
，若
，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由；
（2）对于“三角形数”、
、
，其中
，若
，判断函数
是否是“保三角形函数”，并说明理由.
、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”.（1）对于“三角形数”
、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由；（2）对于“三角形数”
、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由.
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(0.15)
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【推荐2】已知集合
且
，
是定义在
上的一系列函数，满足
.
(1)求
的解析式.
(2)若
为定义在上的函数，且
.
①求的解析式;
②若关于的方程
有且仅有一个实根，求实数
的取值范围.
且，是定义在上的一系列函数，满足.(1)求
的解析式.(2)若
为定义在上的函数，且.①求
的解析式;②若关于
的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.
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