【推荐1】设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，
（I）求数列的通项公式；
（II）若，为数列的前项和，求证：

【推荐2】已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且有.
（1）求、的通项公式；
（2）若，，求使成立的的最小值.

【推荐3】已知等差数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．

【推荐1】已知等比数列的前项和为，且当时，是与的等差中项（为实数）.
（1）求的值及数列的通项公式，
（2）令，是否存在正整数，使得对任意正整数均成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】在等比数列{a_n}中，，且成等差数列.
（1）S_n为{a_n}的前n项和，证明：；
（2）T_n为{a_n}的前n项的积，求数列{T_n}中落入区间[3¹⁰，3²¹]中项的个数.

【推荐3】已知数列是首项为1，公比为的等比数列，并且，，成等差数列.
（1）求的值；
（2）若数列满足，求数列的前项和.

【推荐1】如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为每米800元，设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．

（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）当x为何值时，围墙(包括EF)的修建总费用y最小？并求出y的最小值．

【推荐2】已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角A；
(2)若的外接圆半径为1，求的周长的最大值．

【推荐3】为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为万元.
(1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.