记实数
、
中的较大者为
，例如
，
．对于无穷数列
，记
（
），若对于任意的，均有
，则称数列为“趋势递减数列”．
（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．
①
，②
；
（2）设首项为
的等差数列的前
项和为
、公差为
，且数列
为“趋势递减数列”，求的取值范围；
（3）若数列
满足
、
均为正实数，且
，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有
．
、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列
是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①
，②；（2）设首项为
的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；（3）若数列
满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．
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更新时间：2021-05-05 07:34:55
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐1】对非空数集
，
，定义与的和集
.对任意有限集
，记
为集合中元素的个数.
(1)若集合
，
，写出集合
与
；
(2)若集合
满足
，
，且
，求证：数列
，
，
，
是等差数列；
(3)设集合满足，，且
，集合
（
，
），求证：存在集合满足
且
.
，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.(1)若集合
，，写出集合与；(2)若集合
满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；(3)设集合
满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】已知常数
数列
的前项和为，
且
(1)求数列的通项公式；
(2)若
且数列
是单调递增数列，求实数的取值范围；
(3)若
数列
满足：
对于任意给定的正整数
，是否存在
使
?若存在，求
的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.
数列的前项和为，且(1)求数列
的通项公式；(2)若
且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；(3)若
数列满足：对于任意给定的正整数，是否存在使 ?若存在，求的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.
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，我们称
为
；
，存在
，满足
，并将最小的
；
，判断
时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦点？
时，
，
，求
的最小值.
【推荐1】设
.在
的方格表的每个小方格中填入区间
中的一个实数.设第
行的总和为
，第列的总和为
，
.求
的最大值（答案用含的式子表示）.
.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第行的总和为，第列的总和为，.求的最大值（答案用含的式子表示）.
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(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】给定整数，由元实数集合
定义其相伴数集
，如果
，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数
为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断
、
哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记
、
分别为其中最小数与最大数，求证：
；
(3)当
遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：
、
分别表示数集中的最小数与最大数.
，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.(1)判断
、哪个是规范数集，并说明理由；(2)任取一个
元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；(3)当
遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.注：
、分别表示数集中的最小数与最大数.
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，有
，则称数列
有三个零点，其中
．
为“对数凹性”数列；
，记
，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得
．
为“对数凹性”数列．
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解题方法
【推荐1】已知数列的前n项和为．若对每一个
，有且仅有一个
，使得
，则称为“X数列”.记
，，称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，
，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：
．
的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.(1)若
的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列
为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】若数列满足“对任意的正整数i，j，
，都存在正整数k，使得
”，则称数列具有“性质P”．
(1)判断数列
和
是否具有“性质P”，并说明理由；
(2)若公比为
的无穷等比数列具有“性质P”，求首项
的取值集合；
(3)若首项
的无穷等差数列具有“性质P”，求公差d的取值集合．
满足“对任意的正整数i，j，，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”．(1)判断数列
和是否具有“性质P”，并说明理由；(2)若公比为
的无穷等比数列具有“性质P”，求首项的取值集合；(3)若首项
的无穷等差数列具有“性质P”，求公差d的取值集合．
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为有穷整数数列，若
满足：
，其中
是两个给定的不同非零整数，且
，则称
.
，
，那么是否存在具有性质
？若存在，写出一个这样的
具有性质
中必有两项相同；
，求证：存在正整数
，都有
中任意两项均不相同.
