【推荐1】知数列满足：，.
（1）求证：；
（2）求证：

【推荐2】已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”.例如：数列满足，则其“序数列”为1，3，2.
（1）若数列的通项公式为，写出的“序数列”；
（2）若项数不少于5项的有穷数列，的通项公式分别为，，且的“序数列”与的“序数列”相同，求实数t的取值范围；
（3）若有穷数列满足，，且的“序数列”单调递减，的“序数列”单调递增，求数列的通项公式.

【推荐3】已知函数.
（1）证明：；
（2）数列满足：，（）.
（ⅰ）证明：（）；
（ⅱ）证明：，.

【推荐1】已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．
(1)若，请写出数列的前5项；
(2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件；
(3)若，2，3，，求数列的通项公式．

【推荐2】已知二次函数的图象顶点到轴的距离构成数列的前项和.

【推荐3】设数列的前项和，已知，.
（1）求证:数列为等差数列，并求出其通项公式；
（2）设，又对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可能取值.

【推荐1】设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
(1)试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由；
(2)已知集合具有性质P．
①记，求证：对于任意正整数，都有；
②令，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．

【推荐2】已知为数列的前项和，且，若，，是的前项和，求.

【推荐3】已知数列、、，对于给定的正整数，记，.若对任意的正整数满足：，且是等差数列，则称数列为“”数列.
（1）若数列的前项和为，证明：为数列；
（2）若数列为数列，且，求数列的通项公式；
（3）若数列为数列，证明：是等差数列 ．

【推荐1】已知数列的首项，其前项和为，设.
（1）若，，且数列是公差为的等差数列，求；
（2）设数列的前项和为，满足.
①求数列的通项公式；
②若对，且，不等式恒成立，求的取值范围.

【推荐2】设轴、轴正方向上的单位向量分别是，坐标平面上点列分别满足下列两个条件：①且；②且；
（1）写出及的坐标，并求出的坐标
（2）若的面积是，求的表达式
（3）对于（2）中的，是否存在最大的自然数，对一切都有成立？若存在，求出，若不存在，说明理由

【推荐3】已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）对于给定的实数，试求数列的前项和；
（3）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．