【推荐1】已知正项数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，其前项和为，证明：.

【推荐2】已知数列、分别满足，，且，，其中，设数列、的前项和分别为、；若数列满足：存在唯一的正整数，使得，则称数列为“坠点数列”．
(1)若数列、都为递增数列，求数列、的通项公式；
(2)若数列为“坠点数列”，求；
(3)若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知数列中，，其前项和满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证： ；
（3）设(为非零整数，)，是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立.若存在求出的值，若不存在说明理由.

【推荐1】已知数列的前项和为，满足.
（1）求证：数列等差数列；
（2）当时，记，是否存在正整数、，使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对；若不存在，请说明理由；
（3）若数列、、、、、是公比为的等比数列，求最小正整数，使得当时，.

【推荐2】已知数列满足：对任意，都有.
（1）若，求的值；
（2）若是等比数列，求的通项公式；
（3）设，，求证：若成等差数列，则也成等差数列.

【推荐3】已知数列各项均为正数，,，且对任意恒成立．
（1）若，求的值；
（2）若，（i）求证：数列是等差数列；（ii）在数列中，对任意，总存在，（其中），使构成等比数列，求出符合条件的一组．

【推荐1】已知数列 前n项和 满足.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，用数学归纳法证明：

【推荐2】数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．

【推荐3】已知数列的前项和为，且，.
（1）证明：是等比数列；
（2）求出为何值时，取得最小值，并说明理由.

【推荐1】给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意的，都有，则称与“比较接近”.
（1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“比较接近”；
（2）设数列的前四项为：，是一个与比较接近的数列，记集合，求中元素的个数；
（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与较接近，且在中至少有1009个为正，求的取值范围.