【推荐1】等差数列中，已知，且，，为递增的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式（），求数列的前项和.

【推荐2】设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？
（2）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；
（3）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.

【推荐3】已知是公差不为零的等差数列，是等比数列，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）记.
（i）求数列的前项和；
（ii）记，求数列的前项和.

【推荐1】若数列共有k项，且同时满足，，则称数列为数列.
（1）若等比数列为数列，求的值；
（2）已知为给定的正整数，且，
①若公差为的等差数列是数列，求公差d；
②若数列的通项公式为，其中常数，判断数列是否为数列，并说明理由.

【推荐2】已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列满足，且，，成等比数列，求c．

【推荐3】若数列，满足，则称数列是数列的“偏差数列”．
（1）若常数列是数列的“偏差数列”，试判断数列是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，数列为数列的“偏差数列”，数列为递减数列，求数列的通项公式；
（3）设，数列为数列的“偏差数列”，、且，若，（）对任意的恒成立，求的最小值．

【推荐2】已知数列满足，数列
满足
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
（2）求证：当时，
（3）设数列的前项和为，求证：当时，.

【推荐3】设等差数列的前项和为且对任意都成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：当时，．

【推荐1】已知数列中，是其前项的和，，.
(1)求，的值，并证明是等比数列；
(2)证明：.

【推荐2】设数列满足，．
(1)若，求实数a的值；
(2)设，若，证明：．

【推荐3】已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且.
(1)求和的通项公式；
(2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和；
(3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围.