【推荐1】设是的外心，满足，若，则面积的最大值为___________.

【推荐2】双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点.如图，已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点.某光线从出发照射到双曲线右支的点，经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过.双曲线在点处的切线与轴交于点，若，且反射光线所在直线的斜率为，则双曲线的离心率是______.

【推荐3】已知平行四边形中，满足，动点满足，则的最小值为______．

【推荐1】在三角形中，边，点是边上的一点，若，，则的最小值是______.

【推荐2】中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.

【推荐3】设是三个正实数，且，则的最大值为_______．

【推荐1】如图，在中，分别在上，，沿将翻折，使平面平面，则四棱锥的体积的最大值为____________．

【推荐2】如图，正方体的棱长为1，有下列四个命题：
①与平面所成角为；
②三棱锥与三棱锥的体积比为；
③过点作平面，使得棱，，在平面上的正投影的长度相等，则这样的平面有且仅有一个；
④过作正方体的截面，设截面面积为，则的最小值为.
上述四个命题中，正确命题的序号为______.

【推荐3】如图所示，在等腰直角三角形中，为直角，，，沿把面折起，使面面，当四棱锥的体积最大时，的长为__________．

【推荐1】设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为______.

【推荐2】已知正方体的棱长为1，动点在棱上，四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积取值范围是_____________．

【推荐3】，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积最大时球的表面积为___________．