【推荐1】对于正数,我们称为它们的调和平均数，已知数列的通项公式为,且数列的第项是数列的前项的调和平均数.
(1)试求数列的通项公式；
(2)求出数列中数值最大的项和数值最小的项.

【推荐2】用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数（），使得

每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,.设第（）行的第二个数为.
(1)写出第7行的第三个数；
(2)写出与的关系并求；
(3)设 证明：

【推荐3】如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.

【推荐1】给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．
已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．
(1)求的通项公式；
(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【推荐2】已知为等差数列，为等比数列，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：；

【推荐3】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
设等差数列的前n项和为，，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值．
注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【推荐1】已知等差数列中，，首项，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.
(1)求的通项公式；
(2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前n项和为，求.

【推荐2】已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.

【推荐3】等差数列的前项的和为，且满足．
（1）求等差数列的公差；
（2）若存在正整数，使得，求等差数列的首项的最大值．

【推荐1】已知数列的前n项和为，且的前n项和为.
(1)求数列的前n项和；
(2)记，求数列的前n项和.

【推荐2】已知正项数列的前项积为，.
(1)证明：数列为等差数列.
(2)设数列的前项和为，证明：.

【推荐3】已知数列的前项和，其中为常数，
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.