【推荐1】设 为椭圆 上任一点，， 为椭圆的焦点，，离心率为 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线 经过点 ，且与椭圆交于 ， 两点，若直线 ，， 的斜率依次成等比数列，求直线 的方程．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆在点处的切线，且与椭圆交于两点.
（i）求直线的方程；
（ii）求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，试问在x轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知抛物线C的顶点在原点， 焦点为F(0，1).
（1） 求抛物线C的方程；
（2）在抛物线C上是否存在点P， 使得过点P的直线交C于另一点Q，满足， 且直线PQ与抛物线C在点P处的切线垂直.若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知中心在原点的椭圆C₁和抛物线C₂有相同的焦点(1，0)，椭圆C₁过点，抛物线的顶点为原点．

(1)求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
(2)设点P为抛物线C₂准线上的任意一点，过点P作抛物线C₂的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．
设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
②若直线AB交椭圆C₁于C，D两点，S_△PAB，S_△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
(1)求该抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，分别在点，处作抛物线的切线，两条切线交于点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆：（）的离心率为，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点.
（1）若直线过椭圆的上顶点，求的面积；
（2）若，分别为椭圆的左、右顶点，直线，，的斜率分别为，，，求的值.

【推荐2】已知椭圆()的离心率为，x轴被曲线截得的线段长度等于的短轴长.已知与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点.
(1)求、的方程；
(2)求证：；
(3)记△,△的面积分别为，若，求的取值范围.

【推荐3】已知曲线，直线经过点与相交于、两点.

(1)若且，求证：必为的焦点；
(2)设，若点在上，且的最大值为，求的值；
(3)设为坐标原点，若，直线的一个法向量为，求面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为的等腰直角三角形.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）直线与椭圆交于点A、B，线段的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为的重心，试问：的面积S是否为定值，若是，求出这个值；若不是，求S的取值范围.

【推荐2】已知A是圆E：上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T．
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)已知点，过点的直线l与C交于M，N两点，求证：．

【推荐3】中心在原点，焦点在x轴的椭圆C，短轴长为2，离心率为，C的右顶点和上顶点分别为A，B，直线与椭圆C交于P、Q两点（点P在第一象限），且直线AP、BQ的斜率之和为0.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：直线的斜率k为定值；
(3)求四边形APBQ面积的取值范围.