【推荐1】在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，满足平面，当最短时，三棱锥外接球的体积是______.

【推荐2】粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______．

      

【推荐3】有一根高为30cm，底面半径为5cm的圆柱体原木（图1）.某工艺厂欲将该原木加工成一工艺品，该工艺品由两部分组成，其上部分为一个球体，下部分为一个正四棱柱（图2）.问该工艺品体积的最大值是_____cm³.

【推荐1】已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为4，则该三棱柱的外接球的表面积为______.

【推荐2】在三棱锥中，平面，，，其外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为________.

【推荐3】已知长方体，，点P为空间一点，满足，，则四棱锥的外接球的表面积为________．

【推荐1】已知直三棱柱中，，过点的平面分别交棱AB，AC于点D，E，若直线与平面所成角为，则截面三角形面积的最小值为_____________．

【推荐2】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，，为的中点，为内的动点(含边界)，且．当在上时，____，点的轨迹的长度为____．

【推荐3】如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D₁E⊥平面AB₁F．

【推荐1】将边长为的正方形绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，与在平面的同侧，则异面直线与所成角的正切值为__________.

【推荐2】已知矩形的边，平面.若边上有且只有一点，使，则的值为______.

【推荐3】在正四棱柱中，E是BC的中点，F是的中点，P是棱所在直线上的动点．则下列四个命题：
①
②平面
③
④不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）．