【推荐1】已知数列满足：，.
(1)①直接写出，的值；
②求的通项公式；
(2)求数列的前项和.

【推荐2】近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．

（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在内的个数的数学期望；
（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第格到第格，），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第格到第格，），行进至第3l格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第格的概率为，．
（ⅰ）求、，并写出用、表示的递推式；
（ⅱ）求，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．

【推荐3】已知数列的前项和为，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的值.

【推荐1】已知数列，其前n项和满足．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，数列满足，，，记为的前n项和，求证：．

【推荐2】设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁是S₂与S₃的等差中项，且a₁=3.
(1)求{a_n}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得S_n≥2021？若存在，请求出符合条件的所有n的集合，若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知数列中，，前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求满足不等式的n值．

【推荐1】已知正项等比数列是单调递增数列，且与的等差中项为，与的等比中项为16.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.

【推荐2】在等比数列中，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	4	1
第二行	8	6	5
第三行	9	12	16

(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．

【推荐3】设数列的前项和满足，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式与前项和.