如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的一个菱形，若
，异面直线
与
所成的角为
．
(1)求证：平面
平面；
(2)求四棱倠的内切球的表面积
．
中，底面是边长为2的一个菱形，若，异面直线与所成的角为． (1)求证：平面
平面；(2)求四棱倠
的内切球的表面积．
更新时间：2023-09-08 15:19:04
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【推荐1】求解下列各题
（1）正四棱柱
的体对角线
的长等于
，则棱
的长等于
，求此四棱柱底面边长和表面积．
（2）一个球被一个平面所截，截面的面积等于
，且球心到截面的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积．
（1）正四棱柱
的体对角线的长等于，则棱的长等于，求此四棱柱底面边长和表面积．（2）一个球被一个平面所截，截面的面积等于
，且球心到截面的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积．
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适中
(0.65)
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解题方法
【推荐2】如图所示，正四棱锥底面的四个顶点
，
，
，
在球
的同一个大圆上，点
在球面上，且已知
．
（1）求球的表面积；
（2）设
为
中点，求异面直线
与
所成角的大小．
底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点在球面上，且已知．（1）求球
的表面积；（2）设
为中点，求异面直线与所成角的大小．
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【推荐3】如图，在直三棱柱
中，
，
.
(1)设平面
与平面
的交线为l，判断l与
的位置关系，并证明；
(2)若
与平面
所成的角为
，求三棱锥
内切球的表面积S.
中，，. (1)设平面
与平面的交线为l，判断l与的位置关系，并证明；(2)若
与平面所成的角为，求三棱锥内切球的表面积S.
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【推荐1】如图，在三棱锥
中，已知
平面
，
，直线与平面所成的角为
．
（1）求证：平面
平面；
（2）若三棱锥的体积为3，求直线
与平面
所成角的正弦值；
（3）若
的外接圆面积为
，求三棱锥的外接球的体积．
中，已知平面，，直线与平面所成的角为．（1）求证：平面
平面；（2）若三棱锥
的体积为3，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若
的外接圆面积为，求三棱锥的外接球的体积．
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解题方法
【推荐2】已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为
，母线长为
．
（1）当
，
时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
（2）如图，当，
时，平面
与圆柱
底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交，设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点
、
，若以点、所在直线为
轴，线段
的中垂线为
轴建立平面直角坐标系，求证：曲线是椭圆并写出椭圆标准方程；
（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球
个，当取得最大值
时，求
的值．（结果用数字表示）
，母线长为．（1）当
，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当
，时，平面与圆柱底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交，设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点、，若以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求证：曲线是椭圆并写出椭圆标准方程；（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球个，当取得最大值时，求的值．（结果用数字表示）
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【推荐1】如图，在四棱锥中，四边形为梯形，
,
为等边三角形，且平面
平面
分别为
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
中，四边形为梯形， ,为等边三角形，且平面平面分别为的中点.(1)证明：平面
平面；(2)求平面
与平面夹角的余弦值.
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解题方法
【推荐2】在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中
与相交于点H，且
面.
(1)求证：面
面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
中，底面为等腰梯形，其中与相交于点H，且面.(1)求证：面
面；(2)若
，求平面与平面夹角的余弦值.
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解题方法
【推荐3】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面CDFE为正方形，
，
，点C在面ABEF上的射影恰为
的重心G．
(1)证明：
；
(2)证明：
面EFDC；
(3)求该五面体的体积．
，，点C在面ABEF上的射影恰为的重心G． (1)证明：
；(2)证明：
面EFDC；(3)求该五面体的体积．
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【推荐1】已知四棱锥中，底面是梯形，
，
，且
，
，顶点在平面内的射影
在
上，
.
（1）求证：平面
平面；
（2）若直线与
所成角为60°，求二面角
的余弦值.
中，底面是梯形，，，且，，顶点在平面内的射影在上，.（1）求证：平面
平面；（2）若直线
与所成角为60°，求二面角的余弦值.
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解题方法
【推荐2】如图，在正三棱柱中，
，
，点，
分别在棱和棱
上，且
，
.
(1)求证：平面
平面；
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
中，，，点，分别在棱和棱上，且，. (1)求证：平面
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值.
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，
，
，平面
平面
的体积．
