【推荐1】在平面直角坐标系中，已知圆
(1)若直线与圆相切，且在坐标轴上截距相等，求直线的方程；
(2)若过点的射线与圆有两个不同交点，且射线上存在点使得，求的取值范围.

【推荐2】已知圆的方程为
（1）求的取值范围；
（2）若此圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值

【推荐3】已知圆心在轴上的圆与直线切于点，圆．
(1)求圆的标准方程．
(2)若圆上两动点，与坐标原点所成角，求线段中点的轨迹方程；
(3)已知，圆与轴相交于两点两点（点在点的右侧）．过点任作一条倾斜角不为0的直线与圆相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数值，若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与相交于两点.
（1）以为直径的圆与轴交两点，若，求；
（2）点在上，过点且垂直于轴的直线与分别相交于两点，证明：.

【推荐2】数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若的顶点，且的欧拉线的方程为.
(1)求外接圆方程；
(2)求边上的高线截外接圆的弦长.

【推荐3】已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM（O为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．

【推荐1】平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
(1)求圆M的标准方程；
(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.

【推荐2】已知圆心在轴非负半轴上，半径为2的圆C与直线相切.
(1)求圆C的方程；
(2)设不过原点O的直线l与圆O:x²+y²=4相交于不同的两点A，B.①求△OAB的面积的最大值;②在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l的方程为mx+ny=1，且此时△OAB的面积恰好取到①中的最大值?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上、半径为2的圆位于轴右侧，且与直线相切．
(1)在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．
(2)将圆向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到圆，若四边形为圆的内接正方形，P、Q分别是边、的中点，当正方形CDEF绕圆心转动时，求的取值范围．

【推荐1】已知圆过点，，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值.

【推荐2】已知抛物线与圆一个交点的横坐标，的一条切线过点，与交于，两点，且点在点的右侧，为坐标原点.
（1）证明：；
（2）若过点的直线与交于不同的两点，.
①求直线的斜率的取值范围；
②是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在.请说明理由.

【推荐3】已知圆，直线.
(1)若直线与圆交于不同的两点、，且，求的值；
(2)若，是直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.