【推荐1】已知函数能表示为奇函数和偶函数的和．
(1)求和的解析式；
(2)利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是增函数；
(3)令（），对于任意，都有，求实数的取值范围．

【推荐1】已知函数，若的最小正周期为．

(1)求的解析式；
(2)若函数在上有三个不同零点，，，且．

①求实数取值范围；

②若，求实数的取值范围．

【推荐2】已知关于的函数为上的偶函数，且在区间上的最大值为10.设.
（1）求函数的解析式.
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
（3）是否存在实数，使得关于的方程有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数的范围，如果不存在，说明理由.

【推荐3】设，，，不全为，给定函数，.若，满足①有零点；②的零点均为的零点；③的零点为的零点，则称，为一对“函数”.
（1）当，时，验证，是否为一对“函数”，并说明理由；
（2）若，为任意一对“函数”，求的值；
（3）若，且，为一对“函数”，求的取值范围.

【推荐1】已知定义域为R的函数，若对任意R，S，均有，则称是S关联.
(1)判断和证明函数是否是关联？是否是关联？
(2)若是{3}关联，当时，，解不等式：；
(3)证明：“是{1}关联，且是{3}关联”的充要条件为“是关联”.

【推荐2】对于函数，若实数满足，则称是的不动点．现设．
(1)当时，分别求与的所有不动点；
(2)若与均恰有两个不动点，求a的取值范围；
(3)若有两个不动点，有四个不动点，证明：不存在函数满足．

【推荐3】已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对任意的，有.
(1)试问函数是否属于集合？并说明理由；
(2)若函数，求正数的取值集合；
(3)若函数，证明：.

【推荐1】如果一个数列从第项起，每一项与它得前一项得差都大于，则称这个数列为“”数列.
（1）若数列为“数列”，且，，，求实数的取值范围；
（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“数列”，，，当数列不是“数列”时，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.

【推荐2】已知横坐标为的点在曲线：上，曲线在点处的切线与直线交于点，与轴交于点．设点，的横坐标分别为，记．正数数列满足，．
（Ⅰ）写出之间的关系式；
（Ⅱ）若数列为递减数列，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，设数列的前项和为，求证：．

【推荐3】已知数列满足，．
(1)若数列为单调递减数列，求实数a的取值范围．
(2)当时，设数列前n项的和为，证明：当时，．