【推荐1】我们把平面直角坐标系中，函数，上的点，若满足：且，且，则称点为函数的“整格点”．
(1)请你选取一个的值，使函数，的图像上有整格点，并写出函数的一个整格点坐标；
(2)若函数，，与函数的图像有整格点交点，求的值，并写出两个函数图像的交点总个数；
(3)对于（2）中的值，则函数，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【推荐2】设函数，其中，.
(1)若在上不单调，求a的取值范围；
(2)记为在上的最大值，求的最小值.

【推荐3】我们把定义在上，且满足（其中常数、满足，，）的函数叫做似周期函数.
（1）若某个似周期函数满足且图象关于直线对称，求证：函数是偶函数；
（2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，，的解析式；
（3）对于（2）中的函数，若对任意，都有，求实数的取值范围.

【推荐1】已知函数.
（1）若，求x的值；
（2）已知，若函数有两个不同的零点，，函数有两个不同的零点，，求的最大值.

【推荐2】已知函数
（1）证明：；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.

【推荐3】信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)若，判断并证明当增大时，的变化趋势；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.

【推荐1】已知函数，
（1）若，求；
（2）如果关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围

【推荐2】如果函数的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得成立，则称此函数具有“性质”．
(1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有a的值；若不具有“性质”，请说明理由；
(2)设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2023个，求m的值．

【推荐3】已知定义域为的函数是奇函数，为指数函数且的图象过点.
（1）求的表达式；
（2）若对任意的.不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程恰有2个互异的实数根，求实数的取值集合.

【推荐1】对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
(2)设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.

【推荐3】固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：；
(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.