【推荐1】如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为________．

【推荐2】已知圆柱底面圆心分别为，，圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面､圆柱侧面均相切，过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为12，若为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球的交线长为___________.

【推荐1】足球运动成为了当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已知某足球的表面上有四个点，平面平面，为等腰直角三角形，，，则该足球的表面积为_________.

【推荐2】已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于___________.

【推荐3】如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为_______________.

【推荐1】一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为________

【推荐2】《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵中，且有鳖臑和鳖臑，现将鳖臑的一个面沿翻折，使点翻折到点，求形成的新三棱锥的外接球的表面积是_________.

【推荐3】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中，，.给出下列四个结论：

①四棱锥为阳马；
②直线与平面所成角为；
③当时，异面直线与所成的角的余弦值为；
④当三棱锥体积最大时，四棱锥的外接球的表面积为.
其中，所有正确结论的序号是______.

【推荐1】三棱锥中，，且平面平面，则__________；若球与该三棱锥除以外的5条棱均相切，则球的半径为__________.

【推荐2】三棱锥P-ABC满足平面平面ABC，正边长为a，，则棱锥外接球的表面积为______．

【推荐3】已知三棱锥，侧面底面，则_____________________．，三棱锥外接球的表面积为________________________．