【推荐1】若数列满足：存在实数，使得对任意、都成立，则称数列为“倍等阶差数列”.已知数列为“倍等阶差数列”.
（1）若，，，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，设.
①求数列的通项公式；
②设数列的前项和为，是否存在正整数、，且，使得、、成等比数列？若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，若数列的前项和，证明：．

【推荐3】已知点都在直线：上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为．
（I）求数列，的通项公式；
（II）求证：．

【推荐1】已知数列中，，．正项等比数列的公比，且满足，．
(1)证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
(2)如果，求的前n项和为；
(3)若存在，使成立，求实数 的取值范围．

【推荐2】如图数表：

每一行都是首项为1的等差数列，第行的公差为，且每一列也是等差数列，设第行的第项为.
（1）证明：成等差数列，并用表示（）；
（2）当时，将数列分组如下：（），（），（），…（每组数的个数构成等差数列）. 设前组中所有数之和为，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，设是不超过20的正整数，当时，求使得不等式恒成立的所有的值.

【推荐3】已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

【推荐1】已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，求证：.

【推荐2】已知数列、满足，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和；
（III）若数列的前项和为，设，求证：．

【推荐3】设函数.
(1)求的最值；
(2)令，的图象上有一点列，若直线的斜率为，证明：.

【推荐2】设递增数列共有项，定义集合，将集合中的数按从小到大排列得到数列；
（1）若数列共有4项，分别为，，，，写出数列的各项的值；
（2）设是公比为2的等比数列，且，若数列的所有项的和为4088，求和的值；
（3）若，求证：为等差数列的充要条件是数列恰有7项；

【推荐3】已知数列为有限数列，满足，则称满足性质.
(1)判断数列和是否具有性质，请说明理由；
(2)若，公比为的等比数列，项数为12，具有性质，求的取值范围；
(3)若是的一个排列符合都具有性质，求所有满足条件的数列.