【推荐2】定义：若数列中存在，其中，，，，及均为正整数，且（），则称数列为“数列”.
（1）若数列的前项和，求证：是“数列”；
（2）若是首项为1，公比为的等比数列，判断是否是“数列”，说明理由；
（3）若是公差为（）的等差数列且（），，求证：数列是“数列”.

【推荐3】已知数列中，，设数列满足：
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式
（3）若数列满足，求数列的前项和；

【推荐1】在数列，中，，，.等差数列的前两项依次为.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.

【推荐3】已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，.
（1）求等比数列的通项公式
（2）若，，求前2020项和；
（3）若，，，是与的等比中项且，对任意， ，求ρ取值范围.

【推荐1】设数列满足，且，数列满足，已知，其中；
（Ⅰ）当时，求和；
（Ⅱ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.

【推荐2】对于数列，把作为新数列的第一项，把或作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列.例如，数列、、、、的一个生成数列是、、、、.已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和.
（1）写出的所有可能值.
（2）若生成数列满足的通项公式为，求.

【推荐3】设是数列的前项和，且是和2的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记.
①求数列的前项和；
②设，求证：.

【推荐1】已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”.例如，数列､､满足，则其“序数列”为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.
(1)若数列､､的“序数列”为2､3､1，求实数x的取值范围；
(2)若项数均为2021的数列､互为“保序数列”，其通项公式分别为，（t为常数），求实数t的取值范围；
(3)设，其中p､q是实常数，且，记数列的前n项和为，若当正整数时，数列的前k项与数列的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p､q满足的条件.

【推荐2】是等比数列，公比大于0,其前n项和为是等差数列.已知.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为；
（3）若   则数列前n项和
①求
②若对任意，均有恒成立，求实数m的取值范围.
（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？
（5）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，，求这个新数列的前项和.
（6）设，其中求
（7）是否存在新数列，满足等式 成立，若存在,求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？

【推荐3】已知均为非负实数,且.
证明:（1）当时,;
（2）对于任意的,.