【推荐1】如图．某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．

(1)若菜园面积为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为18m，求的最小值．

【推荐2】2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.
（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围；
（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.

【推荐3】某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？
（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.

【推荐1】如图，在四棱台中，底面为矩形，平面⊥平面，且.

(1)证明:面
(2)若与平面所成角为，求锐二面角的余弦值.

【推荐2】如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点．在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
   

【推荐3】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．

1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．

【推荐1】如图，在直三棱柱中，，，D是BC的中点．

(1)求证：平面；
2).求二面角的大小．

【推荐2】如图,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30°角，求二面角B-B₁C-A的正弦值.

【推荐3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为梯形，AB//CD，BC⊥AB，AB=2，BC=，CD=PC=．

（I）点E在线段PB上，满足CE//平面PAD，求的值．
（II）已知AC与BD的交点为M，若PM=1，且平面PAC⊥平面ABCD，求二面角P-BC-M平面角的余弦值．

【推荐1】如图，三棱锥中，，，，E为的中点．

(1)证明：；
(2)点F满足，求平面和平面所成的锐二面角．

【推荐2】如图，AB为圆柱底面的直径，是圆柱底面的内接正三角形，AP和DQ为圆柱的两条母线，若．

(1)求证：平面PCQ⊥平面BDQ；
(2)求BP与面ABQ所成角正弦值；
(3)求二面角的余弦值．

【推荐3】如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．

(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．