2024高三下·全国·专题练习
1 . 已知
为正项数列
的前
项积，且
，
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)若
，
的前项和为
，证明：
．
为正项数列的前项积，且，．(1)证明：数列
是等比数列；(2)若
，的前项和为，证明：．
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2 . 函数
是取整函数，也被称为高斯函数，其中
表示不超过x的最大整数，例如：
，
．若在
的定义域内，均满足在区间
上，
是一个常数，则称
为的取整数列，称为的区间数列，下列说法正确的是（ ）
是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如：，．若在的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列，下列说法正确的是（ ）A． 的区间数列的通项 |
B．的取整数列的通项 |
C． 的取整数列的通项 |
D．若 ，则数列 的前n项和 |
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3 . 给定数列，定义差分运算：
．若数列满足
，数列的首项为1，且
，则（ ）
，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）A．存在 ，使得 恒成立 |
B． |
C．对任意，总存在 ，使得 |
D．对任意，总存在 ，使得 |
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4 . 曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决实际问题：
(1)对于函数
，分别在点
处作函数的切线，记切线与
轴的交点分别为
，记
为数列
的第
项，则称数列为函数的“切线
轴数列”，同理记切线与
轴的交点分别为
，记
为数列
的第项，则称数列为函数的“切线
轴数列”.
①设函数
，记的“切线轴数列”为；
②设函数
，记
的“切线轴数列”为，
则
，求
的通项公式.
(2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设
是函数的一个零点，任意选取
作为的初始近似值，曲线在点
处的切线为
，设与轴交点的横坐标为
，并称为的1次近似值；曲线在点
处的切线为
，设与轴交点的横坐标为
，称为的2次近似值.一般地，曲线在点
处的切线为
，记与轴交点的横坐标为
，并称为的
次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根
，其中
.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列
，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足
，且
，证明：
.（注：当
时，
恒成立，无需证明）
(1)对于函数
，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”.①设函数
，记的“切线轴数列”为；②设函数
，记的“切线轴数列”为，则
，求的通项公式.(2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设
是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明：.（注：当时，恒成立，无需证明）
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5 . 在数列
中，
（
是常数，
），且
成公比不为1的等比数列.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式:
(3)求数列
的前项和.
中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列.(1)求
的值;(2)求数列
的通项公式:(3)求数列
的前项和.
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解题方法
6 . 已知数列满足
，其前n项和为
，则使得
成立的n的最小值为（ ）
满足，其前n项和为，则使得成立的n的最小值为（ ）| A．8 | B．9 | C．10 | D．11 |
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名校
解题方法
7 . 设数列的前n项和为
；正项数列的前n项和为，且
（且
）.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列
为等差数列；
(3)在数列的
和
项之间插入k个数，使这
个数成等差数列，其中
，将所有插入的数组成新数列，设
为数列
的前n项和，求
.
的前n项和为；正项数列的前n项和为，且（且）.(1)求
的通项公式；(2)证明数列
为等差数列；(3)在数列
的和项之间插入k个数，使这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前n项和，求.
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8 . 已知，
，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则（ ）
，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则（ ）A． |
| B．为等比数列 |
C．数列 的前项和 |
D． 、 、 不是任一等差数列的三项 |
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9 . 已知数列的前项和为，
，且
．
(1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
(2)若__________，求数列的前项和．
从①
；②
；③
，这三个条件中任选一个补充在上而的横线上并解答问题，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
的前项和为，，且．(1)证明：数列
为等比数列，并求其通项公式；(2)若__________，求数列
的前项和．从①
；②；③，这三个条件中任选一个补充在上而的横线上并解答问题，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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2024-05-04更新
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512次组卷
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7卷引用：辽宁省沈阳二中2023-2024学年高二下学期第一次阶段测试数学试题
辽宁省沈阳二中2023-2024学年高二下学期第一次阶段测试数学试题（已下线）模块五 专题2 全真基础模拟2（人教B版高二期中）（已下线）北师大版本模块五 专题3 全真能力模拟3（高二期中）（已下线）模块一 专题2 数列的通项公式与求和【讲】（高二下人教B版）（已下线）模块一专题3 数列的实际应用和综合问题单元检测篇A基础卷（高二人教B版）（已下线）模块一 专题4 数列的实际应用和综合问题单元检测篇A基础卷（高二北师大版）（已下线）模块一 专题3 数列的通项公式与求和【讲】（高二下北师大版）
10 . 已知等差数列的前项和为，且
，
．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
的前项和为，且，．(1)求数列
的通项公式；(2)证明：
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