1 . 已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数?若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．

2 . 设整数，且，函数．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，证明：．

3 . 已知函数.
(1)试讨论函数的单调性；
(2)设，且函数在上的最小值为，求实数的取值集合．

4 . 已知.
(1)求极小值点的最大值；
(2)证明：当时，恒成立.

5 . 已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．

6 . 已知函数，．

(1)证明：在上单调递增；
(2)判断与的大小关系，并加以证明．

7 . 已知函数.
(1)当时，比较与的大小；
(2)若，比较与的大小.

9 . 已知函数 ， ， ．

(1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性．
(2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小．

10 . 已知函数，.
(1)若，求a.
(2)若在其定义域上没有极值点，求a的取值范围.