2 . 某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学	9天	6天	12天	3天
张老师	6天	6天	6天	12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．．

3 . （1）用排列数表示 (n∈N^*且n<55)；
（2）计算；
（3）求证：.

4 . 如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依此类推.一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落.已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左､右两边下落的概率都是.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P(n，m).

（1）求P(4，1)，P(4，2)的值，并猜想P(n，m)的表达式(不必证明)；
（2）已知f(x)=设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为ξ=f(m)，试求ξ的分布列.

5 . 设，求证：

6 . 已知，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．

7 . 已知函数，其中、，.
（1）求函数中含项的系数；
（2）求证：.

8 . 设，.
（1）求的展开式中系数最大的项；
（2）时，化简；
（3）求证：.

9 . 某游戏棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋子所走站数之和的分布列与数学期望；
（2）证明：；
（3）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.

10 . 如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第层的第个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为．

（1）求，，的值；
（2）猜想的表达式（不必证明），并求不等式的解集．