1 . 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.

(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.

2 . （1）已知k，，且，求证：；
（2）若，且，证明：；
（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.

3 . 对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．
(1)数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？
(2)请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；
(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为；
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？

4 . （1）求证：；
（2）求证：；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．

10 . 数学中有这么一个定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家.这个定理数学家波利亚在1921年给出证明，它与随机游走有关，随机游走是概率论中的一个重要概念，它描述了一个在空间中随机移动的过程，随机游走最简单的形式是一维随机游走，即一个点在数轴上以一定的概率向左或向右移动，如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，记移动k次后质点回到原点位置的概率为，其中k为偶数.

(1)求，，；
(2)证明：.