1 . 证明：存在由2014个正整数组成的整数S，具有下面性质：若集合S的子集A满足对任意
，
，均有
，则
.
，，均有，则.
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2 . 对于素数p，定义集合
.
及
.试求所有的素数p，使得
.
.及
.试求所有的素数p，使得.
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3 . 已知
为正整数，集合
的
个三元子集
，
，…，
满足：对任何
的其他三元子集
，均存在整数
和子集
使得
．求的最小值．
为正整数，集合的个三元子集，，…，满足：对任何的其他三元子集，均存在整数和子集使得．求的最小值．
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4 . 求的最大值，使得从一个元集的子集中可以选出个不同的子集，，…，
，满足
对所有
成立．
的最大值，使得从一个元集的子集中可以选出个不同的子集，，…，，满足对所有成立．
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5 . 集合
，
，
.若集合
中的所有元素都能用中不超过9个的不同元素相加表示，求
，并构造
达到最小时对应的一个集合.
，，.若集合中的所有元素都能用中不超过9个的不同元素相加表示，求，并构造达到最小时对应的一个集合.
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6 . 取集合
的子集
，其中，
．若
中存在个集合满足：任意七个的交集非空，求的最大值．
的子集，其中，．若中存在个集合满足：任意七个的交集非空，求的最大值．
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7 . 设集合
，
是正数，且
.试求交集
的元素个数的最大可能值.
，是正数，且.试求交集的元素个数的最大可能值.
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8 . 设为一个含有个元素的集合，
为集合的互不相同的个子集. 证明：在集合中存在一个元素
，使得
，
，…，
仍为互不相同的集合，其中，
.
为一个含有个元素的集合，为集合的互不相同的个子集. 证明：在集合中存在一个元素，使得，，…，仍为互不相同的集合，其中，.
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9 . 对于任何集合S，用
表示集合S中的元素个数，用n（S）表示集合S的子集个数.若A、B、C为三个有限集，且满足（1）
；（2）
.则
的最大值为_______ .
表示集合S中的元素个数，用n（S）表示集合S的子集个数.若A、B、C为三个有限集，且满足（1）；（2）.则的最大值为
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10 . 集合
、
为
的一个等浓二分划（即
，
，且
.记集合中所有数的积为，集合中所有数的积为
，称
为
的等浓二分划的特征数.证明：
（1）集合的等浓二分划的特征数一定为合数；
（2）若等浓二分划的特征数不为2的倍数，则该特征数为
的倍数.
注：有限集合
的元素个数简记为
.
、为的一个等浓二分划（即，，且.记集合中所有数的积为，集合中所有数的积为，称为的等浓二分划的特征数.证明：（1）集合
的等浓二分划的特征数一定为合数；（2）若等浓二分划的特征数不为2的倍数，则该特征数为
的倍数.注：有限集合
的元素个数简记为.
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