2024高三·全国·专题练习
1 . 如图,在平面直角坐标系中,M,N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意,求证:.
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2023高三·全国·专题练习
2 . 若实数,,两两不等,且,,证明,并由本结论说出的一条几何性质.
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3 . 已知椭圆E:,的右焦点,过F作直线AB交E于A,B两点,E上有两点M,N满足:MF,NF分别为,的角平分线.当直线AB斜率为时,的外接圆面积为
(1)求E的标准方程;
(2)设直线,求和的代数关系.
(1)求E的标准方程;
(2)设直线,求和的代数关系.
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4 . 如图,已知内接于抛物线,且边所在直线分别与抛物线相切,F为抛物线M的焦点.求证:
(1)边所在直线与抛物线M相切;
(2)A,C,B,F四点共圆.
(1)边所在直线与抛物线M相切;
(2)A,C,B,F四点共圆.
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5 . 已知椭圆C:的离心率为,、分别为椭圆C的左、右顶点,、分别为椭圆C的左、右焦点,B为椭圆C的上顶点,且的外接圆半径为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设与x不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点(P、Q在x轴的两侧),记直线、、、的斜率分别为、、、.已知,求面积的取值范围.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设与x不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点(P、Q在x轴的两侧),记直线、、、的斜率分别为、、、.已知,求面积的取值范围.
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解题方法
6 . 给定椭圆,称圆心在原点O,半径为的圆为椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线,交“准圆”于点M,N,判断及线段是否都为定值,若为定值,求出定值,若不是定值,说明理由.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线,交“准圆”于点M,N,判断及线段是否都为定值,若为定值,求出定值,若不是定值,说明理由.
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7 . 已知任意二次曲线S,是曲线S的弦,O是的中点,过点O任意作弦、,过点C、D、E、F另作一条任意二次曲线t,如果曲线t与直线交于点P、Q,求证:.
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8 . 已知点,P、Q为椭圆上异于点B的任意两点,且.若点B在线段上的射影为M,求点M的轨迹方程.
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9 . 已知为椭圆上的点,对椭圆上的任意两点P、Q,用如下办法定义它们的“和”:过点S作一条平行于(若点P与Q重合,则直线表示椭圆在P处的切线)的直线l与椭圆交于不同于S的另一点,记作(若l与椭圆相切,则规定S为).并规定.
(1)若点,求、以及的坐标.
(2)在椭圆上是否存在不同于S的点P,满足?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)若点,求、以及的坐标.
(2)在椭圆上是否存在不同于S的点P,满足?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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10 . 已知是抛物线上三个不同的动点,有两边所在的直线与抛物线相切.证明:的重心在定直线上.
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