1 . 设,以表示正整数b,c的最小公倍数.求证:.
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2 . 已知数列满足:,,.求证:.
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3 . 求最小的正整数,使得当正整数点时,在前个正整数构成的集合中,对任意总存在另一个数且,满足为平方数.
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4 . 求正整数n的最大值,使得对任意一个以为顶点的n阶简单图,总能找到集合的n个子集,满足:当且仅当与相邻.
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5 . 已知有n(n≥4)支足球队参加单循环赛,每两队赛一场,每场胜方得3分,负方得0分,平局各得1分,所有比赛结束后发现,各队的总分构成公差为1的等差数列,求最后一名得分的最大值.
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6 . 求最小的正整数,使得存在一个的数阵满足如下条件: (1)每一个数均属于集合; (2)记为数阵中第行中的数组成的集合, 为第列中的数组成的集合,则,是4026个不同的集合.
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7 . 已知,令求能取到的不同的整数值的个数.
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8 . 在一次数学会议上,任意两位数学家要么是朋友,要么是陌生人.在进餐期间,每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐,每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他(或她)的朋友.证明:数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幂(即形如,其中,是某个正整数).
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9 . 设为实数,.证明:
(1)把写成无穷乘积有唯一的表达式其中,为正整数,满足;
(2)是有理数,当且仅当它的无穷乘积具有下列性质:存在,对所有的,满足
(1)把写成无穷乘积有唯一的表达式其中,为正整数,满足;
(2)是有理数,当且仅当它的无穷乘积具有下列性质:存在,对所有的,满足
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