1 . 已知数列满足，，．
(1)猜想数列的单调性，并证明你的结论；
(2)证明：．

2 . 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．某学生在自主学习了杨辉三角之后，发现它与斐波那契数列以下特征：





……
你可归纳出什么结论？请给以证明．

3 . 记为二项展开式中的项的系数，其中.
（1）求；
（2）证明：.

4 . 将一个凸2019边形的每条边任意染为红､黄､蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条.证明：可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染为红､黄､蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同或者颜色互不相同.

5 . 将一枚棋子放在一个的棋盘上，记为从左、上数第行第列的小方格，求所有的四元数组，使得从出发，经过每个小方格恰一次到达（每步为将棋子从一个小方格移到与之有共同边的另一个小方格）.

6 . 设等差数列的首项为，公差为．定义，那么，________（用、、表示）．

7 . 如图，有三种类型的纸片(可翻转)．

证明:（1）当时，的纸板不能分割成若干个I型、II型的纸片;
（2）当n为大于2的偶数时，的纸板可以分割成若干个II型、III型的纸片．

8 . 将 颗珠子分成 堆.若通过每次从其中 堆中各取走一颗珠子，而最后取完，则称这样的分法为“和谐的”.试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明.