2024高三·全国·专题练习
解题方法
1 . 已知函数
，
，，
，求证：
．
，，，，求证：．
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2 . 设
，证明： 
．
，证明： ．
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3 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为的质因数个数，
为质数，
），例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求
；
(2)若正整数
互质，证明：
；
(3)若
且
，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为
，证明：
．
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求
；(2)若正整数
互质，证明：；(3)若
且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．
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2024-03-26更新
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1204次组卷
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5卷引用：压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总
（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第一阶段学业质量联合调研抽测（4月）数学试题（已下线）【人教A版（2019）】高二下学期期末模拟测试A卷
4 . 求正整数
，使得
成立．
，使得成立．
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名校
5 . “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数
被
除余
，我们可以写作
．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数
，
，…，
两两互质，则对任意的整数：
，
，…，
方程组
一定有解，并且通解为
，其中为任意整数，
，
，
为整数，且满足
．
(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第个满足条件的正整数；
(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．（提示：可以用首尾进行相加）．
被除余，我们可以写作．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数，，…，两两互质，则对任意的整数：，，…，方程组一定有解，并且通解为，其中为任意整数，，，为整数，且满足．(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第
个满足条件的正整数；(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．（提示：可以用首尾进行相加）．
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2024-02-23更新
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715次组卷
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4卷引用：压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式）练
（已下线）压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式）练云南省昆明市第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期开学考试数学试题贵州省毕节市金沙县部分学校2024届高三下学期高考模拟（六）数学试题
2023高三·全国·专题练习
6 . 已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2．证明：这时有a＜b及b+1=c．
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7 . 设整数
模2014互不同余，整数
模2014也互不同余.证明：可将重新排列为
，使得
模4028互不同余.
模2014互不同余，整数模2014也互不同余.证明：可将重新排列为，使得模4028互不同余.
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8 . 设
证明：存在
使得同余方程
在模的意义下至少有个根．（请对比拉格朗日定理）．
证明：存在使得同余方程在模的意义下至少有个根．（请对比拉格朗日定理）．
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9 . 设
是素数，模意义下的次整系数多项式
．求证：同余方程
在模的意义下至多有
个不同的解．
是素数，模意义下的次整系数多项式．求证：同余方程在模的意义下至多有个不同的解．
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