1 . n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.

2 . 设AD，BE，CF是的三条中线.
（1）用和表示；
（2）求.

3 . 已知两个非零向量不共线，.
（1）证明：三点共线；
（2）试确定实数，使与共线.

4 . 已知半椭圆，过一定点作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于点、，其中，为坐标原点，、分别为椭圆的左、右焦点.
（1）求的最小值；
（2）是否存在直线，使得与互相垂直?若存在，求出点、的横坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知从有限个平面向量构成的集合中任取三个元素，其中总存在两个元素，使得.试求中元素个数的最大值.

6 . 如图，正六边形的中心为，对、、、、、、这七个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量，以它们的数量积的绝对值作为随机变量.试求的概率分布列及其数学期望.

7 . 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，直线交椭圆于点、，满足，其中，定点．当取得最大值时，求椭圆的方程．

8 . 已知圆周上有七个不同的点，以其中任意一点为始点，另一点为终点作向量，作出所有的向量（对于点、，若作出向量，则不再作向量）.若其中某四点所确定的凸四边形的四条边是首尾相接的四个向量，则称其为“零四边形”.试求以这七个点中四个点为顶点的凸四边形中，零四边形个数的最大值

9 . 如图，在三棱锥中，，，D为AC的中点，点E、F分别在OD、AB上，且，．

（1）问：，能否同时成立？证明你的结论；
（2）求出EF的长度．

10 . 已知，．求的最大值．