1 . 数列满足，求使该数列有极限的的最大值．

2 . 已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义．
(1)求和的表达式；
(2)求的表达式，并写出其定义域；
(3)证明：的图象与的图象没有横坐标大于1的交点．

4 . 已知，数列中的每一项均在集合中，且任意两项不相等，又对于任意的整数，均有.记所有满足条件的数列的个数为.例如时，满足条件的数列为1，2或2，1，所以.
（1）求；
（2）求.

5 . 定义为正整数的各位数字中不同数字的个数，例如.在等差数列中，，则___________，数列的前100项和为__________.

6 . 对任意正整数，定义函数如下：
①；
②；
③.
（1）求的解析式；
（2）设是数列的前项和，证明：.

7 . 已知无穷正数数列满足：
（1）存在，使得；
（2）对任意正整数、，均有，求证：.