1 . “让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立.
(1)证明：当
，时，不等式
成立，并指明取等号的条件；
(2)已知
，…，
（
）是大于
的实数（全部同号），证明：
(3)求证：
.
，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.(1)证明：当
，时，不等式成立，并指明取等号的条件；(2)已知
，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：(3)求证：
.
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2 . 已知数列
满足：
，且
.
(1)证明：对于任意
，数列中有无限项满足
；
(2)已知
，求证：
.
满足：，且.(1)证明：对于任意
，数列中有无限项满足；(2)已知
，求证：.
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3 . 定义函数
的所有零点构成严格单调增数列
.
（1）求证:
;
（2）若对任意的
存在负数
使得方程
有两个不等实解
与
,并且满足
,试证明:
.
的所有零点构成严格单调增数列.（1）求证:
;（2）若对任意的
存在负数使得方程有两个不等实解与,并且满足,试证明:.
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4 . 已知数列的前
项和为
，
且
．
（1）证明：
，并求的通项公式；
（2）构造数列
求证：无论给定多么大的正整数
，都必定存在一个
，使
.
的前项和为，且．（1）证明：
，并求的通项公式；（2）构造数列
求证：无论给定多么大的正整数，都必定存在一个，使.
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5 . 已知
，证明：
．
，证明：．
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6 . 对任意满足
的非负实数组
，记为
的元素个数，求证：
，并给出取等的充要条件.
的非负实数组，记为的元素个数，求证：，并给出取等的充要条件.
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2023-12-15更新
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148次组卷
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2卷引用：2023年第39届全国中学生冬令营（CMO)数学试题
2023高三·全国·专题练习
7 . 设是一个正整数，实数
、
、…、
和
、
、…、
满足：
和
，求证：
．
是一个正整数，实数、、…、和、、…、满足： 和，求证：．
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8 . 设
，
，，求证：
．
，，，求证：．
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9 . 设
，
．证明使得对任何满足
的实数，不等式
恒成立的充要条件是
且
．
，．证明使得对任何满足的实数，不等式恒成立的充要条件是且．
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，
是两个实系数非零多项式，且存在实数
使得
记
，证明：
