1 . 已知椭圆的右焦点为F(1，0)，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；
（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆E过且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.

2 . 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.

3 . 已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”.
（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由；
（2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程；
（3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于.

4 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点．定义点的“友好点”为：，现有下列命题：
①若点的“友好点”是点，则点的“友好点”一定是点．
②单位圆上的点的“友好点”一定在单位圆上．
③若点的“友好点”还是点，则点一定在单位圆上．
④对任意点，它的“友好点”是点，则 的取值集合是 ．
其中的真命题是_____．

5 . 把椭圆的短轴和焦点连线段中较长者､较短者分别作为椭圆的长轴､短轴，使椭圆变换成椭圆，称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆“压缩”成椭圆，得到一系列椭圆，…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆经过次“压缩”后能终止，则椭圆的离心率可能是①，②，③，④中的______.（填写所有正确结论的序号）

6 . 对于曲线，若存在非负实常数和，使得曲线上任意一点有成立（其中为坐标原点），则称曲线为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界成为曲线的外确界，最大的内界成为曲线的内确界．
（1）曲线与曲线是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（2）已知曲线上任意一点到定点，的距离之积为常数，求曲线的外确界与内确界．

7 . 点满足，则点P的轨迹为__________，离心率为________．

8 . 在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离.
（1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值；
（2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由；
（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小.

9 . 已知曲线的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线.下列方程所表示的曲线中,是曲线的有__________（写出所有曲线的序号）
①；②；③；④

10 . 已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4
（1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程.
（2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上.
（3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.