1 . 已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且 ， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记 ，且 ，， 且
(1)若，，写出 ；
(2)若，写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；
(3)若 ， 且 ． 证明： ， 使得 ．

2 . 为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层

植物名称	植物类型	株数
酸枣	灌木	28
荆条	灌木	41
孩儿拳头	灌木	22
河朔荛花	灌木	4
臭椿	乔木幼苗	1
黑枣	乔木幼苗	1
构树	乔木幼苗	2
元宝槭	乔木幼苗	1

表2：妙峰山油松次生林林下灌木层

植物名称	植物类型	株数
黄栌	乔木幼苗	6
朴树	乔木幼苗	7
栾树	乔木幼苗	4
鹅耳枥	乔木幼苗	7
葎叶蛇葡萄	木质藤本	8
毛樱桃	灌木	9
三裂绣线菊	灌木	11
胡枝子	灌木	10
大花溲疏	灌木	10
丁香	灌木	8

(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望；
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）

3 . 某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．

疱疹面积（单位：）
第1组（只）	3	4	1	2	0
第2组（只）	1	3	2	3	1

(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明）

4 . 按国际标准，复印纸幅面规格分为系列和系列，其中系列以，，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：
①规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；
②将（）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）．

   

某班级进行社会实践活动汇报，要用规格纸张裁剪其他规格纸张．共需规格纸张40张，规格纸张10张，规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供规格纸张的张数为（     ）

A．6

B．7

C．8

D．9

5 . 《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：

项目	国际级运动健将	运动健将	一级运动员	二级运动员	三级运动员
男子跳远	8.00	7.80	7.30	6.50	5.60
女子跳远	6.65	6.35	5.85	5.20	4.50

在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，
(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望；
(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：

	第1跳	第2跳	第3跳	第4跳	第5跳	第6跳
甲	6.50	6.48	6.47	6.51	6.46	6.49
丙	5.84	5.82	5.85	5.83	5.86	a

若丙第6次试跳的成绩为a，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出a的值．（结论不要求证明）

6 . 已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：；
(3)若满足，证明：．

7 . 在平面直角坐标系中，，.集合，下列结论正确的是______.
①点；
②若，则；
③若，则的最小值为.

8 . 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（       ）

   

A．1

B．2

C．3

D．4

9 . 2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．
已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．
(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．

10 . 德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（       ）

A．2倍

B．4倍

C．6倍

D．8倍